中级经济师各种函数

1，微观经济学是研究社会中单个经济单位的经济行为，以及相应的经济变量的单项数值如何决定的经济学说；分析个体经济单位的经济行为，在此基础上，研究现代西方经济社会的市场机制运行及其在经济资源配置中的作用，并提出微观经济政策以纠正市场失灵；关心社会中的个人和各组织之间的交换过程，它研究的基本问题是资源配置的决定，其基本理论就是通过供求来决定相对价格的理论。所以微观经济学的主要范围包括消费者选择，厂商供给和收入分配。
2，效用函常是用来表示消费者在消费中所获得的效用与所消费的商品组合之间数量关系的函数，以衡量消费者从消费既定的商品组合中所获得满足的程度。 效用函数的定义是设f是定义在消费集合X上的偏好关系，如果对于X中任何的x，y，xfy当且仅当ux≥uy，则称函数u:X→R是表示偏好关系f的效用函数。
拓展资料：
效用函数 在工具书中的解释
1、表示消费者在消费中所获得的效用与所消费的商品组合之间数量关系的函数。它被用以衡量消费者从消费既定的商品组合中所获得满足的程度。运用无差异曲线只能分析两种商品的组合，而运用效用函数则能分析更多种商品的组合。其表达式是:U=Ux， y， z， 式中 x，　y，　z分别代表消费者所拥有或消费的各种商品的数量，公式左边的U为 效用函数 在学术文献中的解释 1、FX称为效用函数加权P范数法的关键是权系数的确定有2种基本的方法，一是老学习法[1，2]，该方法依据目标函数的相对重要性来选取权系数。
2、一个人的效用应是财富x的函数，这个函数称为效用函数，从理论上来讲，它可以通过一系列心理测试来逼近得到每个人的效用函数不同的决策者应有不同的效用函数首先我们寻求效用函数所满足的性质或某些特殊类效用函数所满足的性质。
3、这是一种理论假设，他们运用的数学函数式所建立的模型称为“效用函数”按照这类模型，人都能被假设成为可以决定在每一种可能的时间分配中产生一定的利益水平，并且追求利益最大化的选择。

这个人在中国大陆的官方翻译名是米尔顿·弗里德曼。不过在张五常的一些博客中被称为佛利民。
弗里德曼的货币需求函数中最强调的是恒常收入（这貌似是一道中级经济师的模拟试题）
具体来说弗里德曼认为对货币的需求取决于三种因素（1）需要以各种形式持有的总财富，相当于预算约束；（2）对这种形式的财富与其他形式的财富的价格和收益；（3）财富所有者的偏好。后两种因素中必须考虑跨时期的替代率。人们持有财富的主要形式有五种1货币；2债券或固定其他收益证券；3股票或其他不固定收益证券；4非人力实物商品；5人力资本。用函数形式表示就是M/P=frb,re,1/p*dp/dt,w,Y/P,u

生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。
　　它可以用一个数理模型、图表或图形来表示。换句话说，就是一定技术条件下投入与产出之间的关系，在处理实际的经济问题时，生产函数不仅是表示投入与产出之间关系的对应，更是一种生产技术的制约。例如，在考虑成本最小化问题时，必须要考虑到技术制约，而这个制约正是由生产函数给出的。另外，在宏观经济学的增长理论中，在讨论技术进步的时候，生产函数得到了很大的讨论。
　　假定X1、X2……Xn顺次表示某产品生产过程中所使用的n种生产要素的投入数量，Q表示所能生产的最大产量，则生产函数可以写成以下的形式：
　　该生产函数表示在既定的生产技术水平下生产要素组合X1,X2…Xn在每一时期所能生产的最大产量为Q。在经济学分析中，通常只使用劳动（L）和资本（K）这两种生产要素，所以生产函数可以写成：Q = fL，K。
　　
　　生产函数：每个时期各种投入要素的使用量，与利用这些投入所能生产某种商品的最大数量之间的关系。生产函数表明了厂商所受到的技术约束。
　　Q= f（L，K，N，E）
　　式中，各变量分别代表产量、投入的劳动、资本、土地、企业家才能。
　　其中N是固定的，E难以估算，所以一般的简化为，
　　Q = f（L、K）

一函数及其图形

1、函数概念、函数表示法

2、函数的简单性质

3、数学软件Mathematica的特点和运行

4、用Mathematica作图

（1）直角坐标系中作一元函数图形

（2）数据集合的图形

5、基本初等函数

6、函数关系的建立及了解一些常见的经济函数

二极限与连续

l、函数极限的概念

2、无穷小量与无穷大量

3、极限的运算法则

4、两个重要极限

5、利用Mathematica计算极限

6、函数的连续性

7、函数的间断点

8、连续函数的性质

三一元函数微分学

l、导数的定义

’2、基本初等函数的导数公式

3、函数可导与连续的关系

4、函数的求导运算法则

5、复合函数的导数

6、导数基本公式和法则

7、高阶导数

8、利用Mathematica求导数

（1）复合函数的导数

（2）隐函数的导数

（3）高阶导数

9、微分

10、利用Mathematica求微分

四中值定理与导数的应用

1、微分中值定理

2、未定式问题一罗彼达法则

3、函数的增减性及其判定

4、函数的极值

5、函数的最大值、最小值及其应用问题

6、边际分析与弹性分析在经济中的应用

7、导数应用的Mathematica求解

五不定积分

l、原函数与不定积分的概念

2、不定积分的性质

3、基本积分公式

4、换元积分法

5、分部积分法

6、用Mathematica计算不定积分

六定积分及其应用

l、定积分的定义

2、定积分的基本性质

3、微积分学的基本定理

4、一菜布尼兹公式

5、定积分的换元积分法

6、定积分的分部积分法

7、积分区间为无穷区间的广义积分

8、用Mathematica计算定积分

9、平面图形的面积

10、定积分在经济上的应用

11、用Mathematica计算定积分在几何上和经济上的应用

二、实践内容

实训（1）Mathematica软件的安装和运行、算术运算、代数运算、函数运算、解方程方法

实训（2）用Mathematica软件,按照函数表达式选择适当的区间画出二维、三维图形

实训（3）用Mathematica软件计算左、右极限以及各种类型极限

,绘制极限图形，加深对极限概念的理解。

实训（4）利用Mathematica软件求导数，掌握隐函数、高阶导数以及各种类型导数的计算方法

实训（5）利用Mathematica求微分

实训（4）导数应用的Mathematica求解，利用软件讨论函数的单调性、凹凸性、极值和最值

实训（5）、利用Mathematica计算不定积分

实训（6）利用Mathematica计算定积分

实训（7）利用Mathematica计算定积分在几何上的应用问题，掌握求面积、体积、平面曲线的弧长和在经济上的应用问题的方法

三、学时分配

本课程的教学时数为80学时。其中理论课程60学时，实践课程20学时。

教学内容
学时数
实践
网上课堂

函数及其图形
4
2

极限与连续
12
4

一元函数微分学
12
2

导数应用
8
4

不定积分
10
2

定积分
6
2

定积分的应用
4
4

机动
4

合计
60
20

总计

教学大纲说明

一、本课程性质、作用和任务

《经济数学》课程是经贸类各专业学生必修的一门重要基础理论课。大纲本着学以致用，必需、够用、精讲多练的原则编写，并且注重引入最新的科技成果。

通过本课程的学习，使学员获得微积分的基本知识，培养学员的基本运算能力，提高学员的数学素质。使学员掌握用定性与定量相结合的方法处理经济问题的初步能力。特别注重培养学员具有熟练应用计算机软件进行运算和综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力。使学员获得学习后继课程和进一步学习所必需的数学基础，为学习各专业的后继课程和今后工作需要打下必要的数学基础。

二、本课程与其它有关课程的联系与分工

经济数学是经济类各专业的一些基础课程与专业课程的先修课程。

前导课程及主要知识：初等数学所涉及的大部分内容、计算机基础

后续课程：会计学原理，财务会计，西方经济学，统计学原理、

工商企业经营、市场营销学、会计、财务、市场调查与分析等课程。

三、本课程的基本要求

通过本课程的学习，使学员获得微积分学中函数，极限、微分与积分的基本知识，基本理论和基本技能，建立变量的思想，对具体与抽象，特殊与一般，有限与无限等辩证关系有初步的了解。提高学员的数学素质，即抽象思维和逻辑推理能力，增强他们对经济现象和实务进行定量分析的能力，能用变量数学方法分析和处理一些简单的经济现象中数量关系。并运用变量数学方法解决简单实际问题的初步训练。

四、本课程各部分内容的教学要求

（一、微积分基础知识

主要介绍函数、极限和函数的连续性等基本概念、基本性质，介绍经济上常用函数关系的解析式的建立，掌握 Mathematica软件的安装和运行。

（二）、微积分基本理论

主要介绍微积分基本理论，要求学员掌握函数极限、导数、微分、积分的基本概念、基本定理、基本公式、运算法则。

（三）、微积分基本运算

要求学员通过学习，掌握极限、导数、微分、积分的基本运算方法和技能，熟练掌握运用计算机Mathematica软件进行数值和函数运算方法。

（四）、微积分应用

要求学员通过学习，掌握用定性与定量相结合的方法解决经济上常见问题，运用微积分基本知识来分析和解决一些实际问题，并且掌握应用计算机Mathematica软件来解决一些比较复杂的应用问题。

五、教学内容、重点和难点

（一）教学内容

1、理论教学内容

函数概念，函数的几何性质；基本初等函数及其性质，常用经济函数简介。数列的极限，函数的极限，无穷大量与无穷小量，极限的性质及其四则运算，极限存在的准则与两个重要极限，连续函数。导数的概念及几何意义，基本初等函数的导数公式，导数的运算法则，高阶导数。微分的定义、计算。中值定理，函数的单调性，函数的极值、最大值和最小值，曲线的凹凸性、函数的作图，经济、中的极值问题。

原函数与不定积分的定义，不定积分的性质、换元积分法、分部积分法。定积分的定义及性质，微积分基本定理，定积分的计算及应用

2、实践教学内容

（1）Mathematica软件的安装和运行、算术运算、代数运算、函数运算、解方程方法

（2）用Mathematica软件画出二维、三维图形，能够按照函数表达式选择适当的区间画出二维、三维图形

（3）用Mathematica软件计算极限，能够绘制极限图形，能够进行左、右极限以及各种类型极限的计算

（4）利用Mathematica软件求导数，掌握隐函数、高阶导数以及各种类型导数的计算方法

（5）利用Mathematica求微分

（4）导数应用的Mathematica求解，利用软件讨论函数的单调性、凹凸性、积值和最值

（5）、利用Mathematica计算不定积分

（6）利用Mathematica计算定积分

（7）利用Mathematica计算定积分在几何上的应用问题，掌握求平面图形的面积体积、平面曲线的弧长和在经济上的应用问题的方法

（二）教学重点

函数的概念、函数定义域的确定，函数的简单性质，基本初等函数及其图形，复合函数的概念，建立函数关系式。

极限的概念，函数连续的概念，初等函数的连续性，极限的运算法则，求极限的方法。

导数的概念，微分的概念，导数的四则运算法则，复合函数的求导法则。

用罗必达法则求各种待定型极限，函数的极值及其求法，经济函数的最大、最小值问题。

原函数与不定积分概念、基本积分公式、换元积分法和分部积分法。

定积分的概念，微积分学基本定理，一莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法，定积分的应用。

用Mathematica软件计算极限，求导数、微分、不定积分和定积分

（三）教学难点

分段函数的记号及所涉及到的函数值的计算；等价无穷小代换；求极限，连续性的判断。定积分的概念；微分和导数的概念；隐函数导数。经济、中的最值问题。不定积分的换元积分法；定积分的换元积分法；定积分应用问题。导数应用的Mathematica求解；利用Mathematica计算定积分在几何上的应用问题

六、具体教学要求

（一 ）函数及其图形

1、正确理解函数的定义及定义的两个要素一定义域和对应法则。

能区分符号fx与faa为常数

能区分单值函数与多值函数。

会计算函数值。

2、了解函数的三种表示法包括分段函数表示法，了解三种表示法的优缺点。

3、理解函数四种简单性质奇偶性、周期性、单调性有界性的含义。

会判定一些比较简单的函数是否具有某些简单性质。

4、熟练掌握基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数的表达式，定义域，值域、简单性质、图形及图形的特点。

5、理解复合函数定义 。

了解中间变量在函数复合中的作用。

会求复合函数的定义域，并会计算复合函数的值。

会把两个函数复合成一个函数，反之，能将一个函数分解成两个比较简单的函数的复合。

6、理解初等函数与分段函数的概念及初等函数的构成。

7、了解反函数的定义，掌握反函数存在的条件。

理解在同一坐标系中如何从函数y=fx的图形作出其反函数y= f -1x的图形。

8、理解函数增量的概念，能写出增量的表达式，并会计算简单函数的增量。

9、对常见的经济问题，能根据实际情况建立相应的函数解析式并能确定定义区间。

10、掌握Mathematica软件的安装和运行、算术运算、代数运算、函数运算、解方程方法；熟练掌握函数表达式选择适当的区间画出二维、三维图形

（二） 极限与连续

1、理解函数极限的概念，并了解它的几何意义。

理解函数的左、右极限。

会求分段函数在分段点处的左、右极限。

理解函数极限存在的充要条件。

2、正确理解并熟记极限的四则运算法则。

熟练掌握运算法则求函数的极限。

正确理解两个重要极限，并能结合四则运算法则，灵活熟练地求函数的各类极限。

3、正确理解无穷小量是以零为极限的变量，并能判别一个较简单的变量是不是无穷小量。

熟练掌握无穷小量的运算法则。

理解高阶无穷小量，同阶无穷小量，等价无穷小量的概念。

会判定较简单的两个无穷小量的阶的高低。

4、正确理解无穷大量是一个绝对值可无限增大的变量，并能判定一个较简单的变量是不是无穷大量。

熟记无穷大量与无穷小量的关系。

5、理解函数的极限与无穷小量之间的关系

6、正确理解函数在某点连续的定义包括左、右连续

理解函数在区间上连续的含义。

会确定分段函数在区间分段点处的连续性。

7、正确理解函数间断点的定义和产生间断点的三种情况。

能根据定义正确地判断函数的间断点。

8、熟知连续函数运算法则。

理解连续函数的复合函数仍是连续函数。

会利用连续函数的性质求函数的极限。

熟记基本初等函数与初等函数在它们的定义区间是连续的。

9、理解并熟记闭区间上连续函数的性质，特别是最大值与最小值定理。

10、能够用Mathematica软件绘制极限图形，加深对极限概念的理解。能够进行左、右极限以及各种类型极限的计算 。

（三） 一元函数微分学

1、理解函数导数的概念了解导数的几何意义

2、了解过曲线上一点的切线的定义。理解切线斜率是曲线上点的导数f’Xo，会求曲线上一点处的切线方程。

3、理解可导与连续的关系。

4、熟练掌握可导函数的和、差、积、商的求导运算法则，并能正确熟练地运用这些公式。

5、熟记基本初等函数求导公式，并能正确、熟练地运用这些公式。

6、掌握复合函数的求导法则，理解它在求导中所起的作用。

7、了解反函数的求导法则。

8、正确理解对数求导法，并能熟练地应用。

9、熟练地运用上述这些公式和求导法，能迅速而准确地求出初等函数的导数。

10、了解高阶导数的概念。

能熟练计算初等函数的二阶导数。

11、理解微分的定义一函数增量的线性主部。

了解微分的几何意义。

理解函数的微分与导数的联系与区别。

12、熟练掌握微分的基本公式与运算法则。

13、正确理解微分形式不变性的含义，并能熟练应用微分形式不变性求微分或导数。

14、用Mathematica软件求导数，掌握隐函数、高阶导数以及各种类型导数的计算和微分计算方法。

（四） 导数的应用

1、了解罗尔定理、拉格朗日中值定理及其推论的结论成立的条件证明不作要求。

了解这些定理的几何背景的基础上知道这些定理在函数性态研究中所起的作用。

2、了解罗必达法则的条件与结论。

正确理解未定式的概念及知道未定式的各种类型。

3、熟练地运用罗必达法则求未定式 型和 型的极限。

会熟练地运用罗必达法则求未定式0·∞和∞－∞型的极限。了解未定式l∞ 型，∞0型00型的极限的求法。

4、正确理解函数单调增加与单调减少在函数图形上的反映。

5、熟练掌握函数增减性的判定定理，并能求出函数的单调区间。

6、正确理解函数极大值和极小值的定义。

知道函数的驻点的定义与导数不存在点的函数取得极值的必要条件。

7、理解函数取得极值的充分条件并会求函数的极值。

8、理解函数的最大值、最小值与函数的极大值与极小值的联系和区别。

9、会求函数在给定区间上的最大值和最小值。

10、理解经济上常见函数：需求函数、供给函数、成本函数、收益函数、利润函数的概念。

11、理解经济函数的边际函数和弹性的定义及边际函数和弹性的经济意义。

掌握求边际函数和弹性的方法。

12、能利用导数工具求经济应用问题的最大值与最小值问题及相关的变化率问题。

13、掌握用Mathematica软件讨论函数的单调性、凹凸性、积值和经济应用的最值方法。

（五） 不定积分

1、理解原函数定义并知道原函数存在条件及原函数的结构。

2、理解不定积分的定义，知道不定积分与原函的关系。了解不定积分的几何意义，会求通过平面内一点的积分曲线。

3、掌握不定积分的基本性质。

4、熟记基本积分公式，会利用这些基本公式并结合基本性质来求不定积分。

5、掌握第一类换元法即凑微分法。

6、掌握分部积分法。

7、熟练掌握用Mathematica计算不定积分

（六） 定积分及其应用

1、理解定积分的概念、几何意义和性质；

2、理解积分上（下）限的函数及其求导定理；

3、熟练掌握—莱布尼兹公式；

4、掌握定积分的换元法和分部积分法；

5、掌握用定积分来表示平面图形的面积，旋转体的体积；

6、熟练掌握用Mathematica软件计算定积分

7、掌握用Mathematica软件求平面图形的面积体积、平面曲线的弧长和在经济上的应用问题的方法

8、会利用定积分的几何意义来计算直角坐标系中平面图形的面积。

9、会利用定积分来研究一些简单的经济问题。

七、其它教学环节的必要说明

1、本大纲适应于经济与类学科各专业，本课程上机实践为20学时。

2、执行本大纲时，教学内容的选取、时数的分配，各专业根据具体需求合理安排；

3、为了保证教学质量达到大纲要求，建议课内与课外时数比例以1：1为宜；

4、执行大纲时，教师应注意研究和改进教学方法，注重素质教育，培养学员良好的思维习惯，提高学员的学习能力；

5、加强与专业课教师的沟通，以“必需、够用”为原则，进一步树立为专业服务的思想。

八 、考核方法、学分数和成绩评定方法

一考核方法：

期末考试：闭卷笔试和上机考试

二学分数：

4学分

三成绩评定方法

平时成绩包括习题、测验，期中考试等占20％

闭卷笔试和上机考试成绩各占40％

合计100％

九 、推荐采用教材

1．《微积分基础》-----引入Mathematica软件求解 余敏 叶佰英主编 华东理工大学出版社

2．《微积分》 上海高学校经济数学基础编写组 立信会计出版社

《经济数学基础》 侯风波主编 高职高专规划教材 高等教育出版社。

生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。
常见的生产函数
　　1、固定替代比例生产函数 　　固定替代比例生产函数是指在每一产量水平上任何两种要素之间的替代比例都是固定的。 　　函数的通常形式是 Q=aL+bK , 其中 Q是产量，L、K分别表示劳动和资本，常数a、b＞0。 　
　2、固定投入比例生产函数（也被称为里昂剔夫生产函数） 　　
固定投入比例生产函数是指在每一个产量水平上任何一对要素投入量之间的比例都是固定的。 　　函数的通常形式为 Q=min{ cL，dK }，其中Q是产量，L、K分别表示劳动和资本，常数c、d＞0。 　　
3、柯布-道格拉斯生产函数 　　柯布-道格拉斯生产函数是由数学家柯布CWCobb和经济学家道格拉斯Pl H Douglas于20世纪2022年代提出来的。柯布—道格拉斯生产函数被认为是一种很有用的生产函数，因为该函数以其简单的形式具备了经济学家所关心一些性质，它在经济理论的分析和应用中都具有一定意义。 　　函数的通常形式是 Q=AL^αK^β，其中A、α、β为三个参数，且 0＜α、β＜1。