全国2007年4月高等教育自学考试 线性代数（经管类）试题 课程代码：04184 说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A＊表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A为3阶方阵，且|A|＝2，则|2A-1|=（） A．-4B．-1 C．1D．4 2．设矩阵A＝（1，2），B＝ ，C＝ ，则下列矩阵运算中有意义的是（） A．ACBB．ABC C．BACD．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（） A．A＋ATB．A－AT C．AATD．ATA 4．设2阶矩阵A＝ ，则A＊＝（） A．B． C．D． 5．矩阵 的逆矩阵是（） A．B． C．D． 6．设矩阵A= ，则A中（） A．所有2阶子式都不为零B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是（） A．A的列向量组线性相关B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关D．A的行向量组线性无关 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为α=（1，0，2）T，β=（1，-1，3）T，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k, k1, k2, 方程组的通解可表为（） A．k1(1,0,2)T+k2(1,-1,3)TB．(1,0,2)T+k (1,-1,3)T C．(1,0,2)T+k (0,1,-1)TD．(1,0,2)T+k (2,-1,5)T 9．矩阵A= 的非零特征值为（） A．4B．3 C．2D．1 10．4元二次型 的秩为（） A．4B．3 C．2D．1 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11．若 则行列式 =_____________. 12．设矩阵A= ，则行列式|ATA|=____________. 13．若齐次线性方程组 有非零解，则其系数行列式的值为______________. 14．设矩阵A= ，矩阵B=A-E，则矩阵B的秩r(B)=______________. 15．向量空间V={x=(x1,x2,0)|x1,x2为实数}的维数为_______________. 16．设向量α=（1，2，3），β=（3，2，1），则向量α，β的内积（α，β）=____________. 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r(A)=_____________. 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵 经初等行变换化为： ，若方程组无解，则a的取值为____________. 19．设3元实二次型 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形是_____________. 20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是____________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21．计算3阶行列式 22．设A= 求A-1 23．设向量组α1=（1，-1，2，1）T，α2=（2，-2，4，-2）T，α3=（3，0，6，-1）T，α4=（0，3，0，-4）T.（1）求向量组的一个极大线性无关组；（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合. 24．求齐次线性方程组 的基础解系及通解. 25．设矩阵A= ，求正交矩阵P，使P-1AP为对角矩阵. 26．利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组：α1= ，α2= . 四、证明题（本大题6分） 27．证明：若A为3阶可逆的上三角矩阵，则A-1也是上三角矩阵.
全国2007年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：在本卷中，at表示矩阵a的转置矩阵，a*表示矩阵a的伴随矩阵，e是单位矩阵，|a|表示方阵a的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．设行列式=1，=2，则=（）a．-3b．-1c．1d．32．设a为3阶方阵，且已知|-2a|=2，则|a|=（）a．-1b．-c．d．13．设矩阵a，b，c为同阶方阵，则（abc）t=（）a．atbtctb．ctbtatc．ctatbtd．atctbt4．设a为2阶可逆矩阵，且已知（2a）-1=，则a=（）a．2b．c．2d．5．设向量组α1，α2，…，αs线性相关，则必可推出（）a．α1，α2，…，αs中至少有一个向量为零向量b．α1，α2，…，αs中至少有两个向量成比例c．α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合d．α1，α2，…，αs中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合6．设a为m×n矩阵，则齐次线性方程组ax=0仅有零解的充分必要条件是（）a．a的列向量组线性无关b．a的列向量组线性相关c．a的行向量组线性无关d．a的行向量组线性相关7．已知β1，β2是非齐次线性方程组ax=b的两个不同的解，α1，α2是其导出组ax=0的一个基础解系，c1，c2为任意常数，则方程组ax=b的通解可以表为（）a．b．c．d．8．设3阶矩阵a与b相似，且已知a的特征值为2，2，3.则|b-1|=（）a．b．c．7d．129．设a为3阶矩阵，且已知|3a+2e|=0，则a必有一个特征值为（）a．b．c．d．10．二次型的矩阵为（）a．b．c．d．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11．设矩阵a=，b=，则a+2b=_____________.12．设3阶矩阵a=，则（at）-1=_____________.13．设3阶矩阵a=，则a*a=_____________.14．设a为m×n矩阵，c是n阶可逆矩阵，矩阵a的秩为r，则矩阵b=ac的秩为__________.15．设向量α=（1，1，1），则它的单位化向量为_____________.16．设向量α1=（1，1，1）t，α2=（1，1，0）t，α3=（1，0，0）t，β=（0，1，1）t，则β由α1，α2，α3线性表出的表示式为_____________.17．已知3元齐次线性方程组有非零解，则a=_____________.18．设a为n阶可逆矩阵，已知a有一个特征值为2，则（2a）-1必有一个特征值为_____________.19．若实对称矩阵a=为正定矩阵，则a的取值应满足_____________.20．二次型的秩为_____________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．求4阶行列式的值.22．设向量α=（1，2，3，4），β=（1，-1，2，0），求（1）矩阵αtβ；（2）向量α与β的内积（α，β）.23．设2阶矩阵a可逆，且a-1=，对于矩阵p1=，p2=，令b=p1ap2，求b-1.24．求向量组α1=（1，1，1，3）t，α2=（-1，-3，5，1）t，α3=（3，2，-1，4）t，α4=（-2，-6，10，2）t的秩和一个极大线性无关组.25．给定线性方程组（1）问a为何值时，方程组有无穷多个解；（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.26．求矩阵a=的全部特征值及对应的全部特征向量.四、证明题（本大题6分）27．设a是n阶方阵，且（a+e）2=0，证明a可逆.
2022数三题型分值分布如下：
考研数学三的题型有选择、填空、解答，分值分别为32、24、94。
考试的内容：
高等数学：84分，占56%。
线性代数：33分，占22%。
概率论与数理统计：33分，占22%。
考点比数学一要少，但题目难度上偏高。
线性代数考试介绍：
行列式。
考试内容：行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理。
考试要求。
1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质。
2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
矩阵。
考试要求。
1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质。
2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。
3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。
4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法。
5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则。
题型有选择、填空、解答，分值分别为32、24、94。考试内容：高等数学：117分，占78%。线性代数：33分，占22%。
1、高等数学：函数、极限、连续、一元函数微积分学、多元函数的微积分学、常微分方程。同济六版高等数学中除了第七章微分方程考带＊号的伯努利方程外，其余带＊号的都不考；所有“近似”的问题都不考；第四章不定积分不考积分表的使用；不考第八章空间解析几何与向量代数；第九章第五节不考方程组的情形；到第十章二重积分、重积分的应用为止，后面不考了。
2、线性代数：行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型。数学二用的教材是同济五版线性代数，1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。
考研数学二复习办法
整个数学复习，高等数学是占分值最大的，复习的时候，要以高等数学为主。同时线性代数和概率为辅，不管原来熟悉不熟悉，必须要把线性代数和概率统计要复习好。
高等数学它比较灵活的地方，主要集中在几章，一个是所谓的未定式极限的运算，再有一个是微分总值定理，还有积分的应用，特别是定积分在几何上的应用，高等数学的下半部分多元函数微分法、求偏导数，还有数学的线面积分，这都是我们特别应该注意的，应该出大题。
线性代数在考研数学（数学一）中约占34分，其中两道大题11*2=22分，3道小题（选择2个填空1个）4*3=12分。那么，线性代数中哪些知识点容易考小题？哪些知识点考大题呢？两道大题考点分布：1. 方程组：含参数方程组、线性表出转化为方程组、矩阵方程化为方程组。2. 矩阵方程。3. 相似：实对称矩阵。4. 二次型：二次型化标准型（正交变换、配方法）、正定、合同的判别。三道小题考点分布：1. 行列式的计算（具体型、抽象型）。2. 矩阵的运算（求A^n,A的逆、A的伴随、A的转置）。3. 初等矩阵。4. 线性相关、无关，线性表示。5. 矩阵的秩，向量组的秩，向量组等价。6. 已知两个矩阵相似，确定参数。7. 判别两个矩阵等价、相似、合同。8. 判别线性方程组的解。9. 二次型惯性指数正定。线性代数核心是线性方程组，三大工具：行列式、矩阵、向量。三个应用：相似、特征值、二次型。那我们先来撬开线性代数的三大工具之一：行列式。行列式的考点题型框架如下：行列式是研究线性代数的三大工具之一，本质上是一个数值，从而计算行列式是它的主要内容。在考研的试题中，单纯考行列式的计算并不多，分值也不大，相对重要的是抽象型行列式的计算。而另一方面，就是行列式的应用，即通过计算行列式能够解决关于矩阵、向量、方程组、特征值、二次型等的问题。简单回顾下行列式的定义和性质：关于行列式的计算，总共也就以下几种方法和类型。类型主要有：普通行列式（三阶用对角线法则）、特殊行列式（对角形、三角形、三对角线形、范德蒙、分块行列式、爪形行列式）行列式计算方法主要有：1.降阶法按行或列展开、2.定义法（较繁琐）、3.利用行列式的性质（重要方法）、4.递推法（适用三对角线行列式）、5.爪形化三角形（用倍加）、6.加边法（增加一行一列可以更方便化为三角行列式）。7.利用重要公式及结论。行列式的应用常常会与后面的方程组结合，很少单独出题。行列式的应用具体包括：（1）利用克拉默法则求方程组= Ax b 的唯一解，或判定方程组= Ax 0 只有零解；（2）已知齐次线性方程组组= Ax 0 只有零解，由其系数行列式不等于零，确定该方程组系数行列式中待定常数的取值范围；（3）已知齐次方程组= Ax 0 有非零解，由其系数行列式等于零，确定系数行列式中待求常数的取值范围，或确定其行（列）向量之间的线性关系，或确定系数矩阵的秩的范围。典型习题：
2022数三题型分值分布如下：
考研数学三的题型有选择、填空、解答，分值分别为32、24、94。
考试的内容：
高等数学：84分，占56%。
线性代数：33分，占22%。
概率论与数理统计：33分，占22%。
考点比数学一要少，但题目难度上偏高。
线性代数考试介绍：
行列式。
考试内容：行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理。
考试要求。
1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质。
2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
矩阵。
考试要求。
1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质。
2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。
3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。
4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法。
5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则。
题型有选择、填空、解答，分值分别为32、24、94。考试内容：高等数学：117分，占78%。线性代数：33分，占22%。
考试要求
1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。
2． 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3．理解复合函数及分段函数的概念了解反函数及隐函数的概念。
4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
6．掌握极限的性质及四则运算法则。
7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
线性代数经管类考试重点章节如下：第1章 行列式行列式行列式按行（列）展开行列式的性质与计算 35%，克拉默法则第2章矩阵 13%2-1 矩阵运算 10%，2-2 方阵的逆矩阵 5%，2-3 分块矩阵，2-4 矩阵的初等变换与初等方阵 5%，2-5 矩阵的秩，2-6 矩阵与线性方程组 16%第3章 向量空间3-1 n维向量的概念及其线性运算10 %，3-2 线性相关与线性无关 2%，3-3 向量组的秩，3-4 向量空间第4章线性方程组，齐次线性方程组，非齐次线性方程组，特征值与特征向量第五章5-1 特征值与特征向量 5%，5-2 方阵的相似变换，5-3 向量内积和正交矩阵 5%，5-4 实对称矩阵的相似标准形第6章 实二次型6-1 实二次型扱其标准形，6-2 正定二次型和正定矩阵复习建议1、有总体的把握，对教材阐述的基本原理才能认真领会。在此基础上，应进一步有重点地深入学习，即对整个学科中的一些重要理论，要重点学习和掌握，要弄懂弄通，能用自己的语言复述出来，能用一些事例来加以解释和说明。比如劳动价值论和剩余价值论就是本课程中的两个重点理论，学好这部分理论，对其他理论的学习和理解有直接的帮助。2、此外，对学习中的难点和疑点，要尽量弄清楚，一方面可以在反复自学和联系性思考中，对难点、疑点逐步解难释疑。3、另一方面，还可通过助学、辅导来解决自己搞不懂的问题。辅导读物一般都对重点理论进行了归纳，以利于考生掌握各章节的重点，可通过对这些重点问题的简要归纳来加强记忆。许多辅导书还有一定数量的与国家自学考试题型相同的模拟试题，通过阅读和试做这些模拟试题，能加深考生对书中内容的理解，帮助考生加强记忆，并使考生熟悉自学考试的题型。可在系统地学习了这门课程的情况下，做一两份与实际考试题型和试卷结构相同的模拟考题，通过这种方式进行一下综合自测，从而发现哪些问题还没弄清楚，哪些方面还学得不扎实或记得不牢，然后再结合教材、辅导材料和参考答案，反复加深印象，达到全面复习、掌握课程内容的目的。4、在认真读书的基础上，还可利用考试大纲来检验和加深对教材也即整个理论的理解。考试大纲是编写教材和命题的依据，大纲明确列出了各章节的课程内容、考核知识点和考核要求。对课程内容，大纲只列了要点，可以此为线索回忆教材是如何分析的。大纲所列考核知识点和考核要求，是考试命题所要测试的范围，如果对某些知识点印象不深或理解不透，则说明这部分内容自学还有欠缺，要通过再重复读教材，或求助于一些辅导材料等方式，把这些问题弄懂。自考/成人高考有疑问、不知道如何选择主考院校及专业、不清楚自考/成考当地政策，点击底部咨询官网老师，免费领取复习资料：
2022数三题型分值分布如下：
考研数学三的题型有选择、填空、解答，分值分别为32、24、94。
考试的内容：
高等数学：84分，占56%。
线性代数：33分，占22%。
概率论与数理统计：33分，占22%。
考点比数学一要少，但题目难度上偏高。
线性代数考试介绍：
行列式。
考试内容：行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理。
考试要求。
1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质。
2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
矩阵。
考试要求。
1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质。
2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。
3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。
4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法。
5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则。
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2022考研数学二题型及分值分布如下：
数学一的题型有选择、填空、解答，分值分别为32、24、94。
考试的内容：
高等数学：82分，占56%。
线性代数：34分，占22%。
概率论与数理统计：34分，占22%。
考试要求：
1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。
2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3.理解复合函数及分段函数的概念了解反函数及隐函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
6.掌握极限的性质及四则运算法则。
2022数三题型分值分布如下：
考研数学三的题型有选择、填空、解答，分值分别为32、24、94。
考试的内容：
高等数学：84分，占56%。
线性代数：33分，占22%。
概率论与数理统计：33分，占22%。
考点比数学一要少，但题目难度上偏高。
线性代数考试介绍：
行列式。
考试内容：行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理。
考试要求。
1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质。
2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
矩阵。
考试要求。
1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质。
2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。
3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。
4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法。
5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则。
数一是高等数学56%、线性代数22%、概率论与数理统计22%。数二是高等数学78%、线性代数22%。数三是高等数学56%、线性代数22%、概率论与数理统计22%。数一、数二、数三最大的区别是数学二缺少概率论与数理统计，而数一和数三无论考试科目还是分值比例都是相同的。
数一数二数三是指考研时，数学科目的俗称、简称。一、考研数学统考试卷的类型： 考研数学一的考试科目有：高等数学、线性代数、概率论与数理统计。考研数学二的考试科目有：高等数学、线性代数。考研数学三考试科目有：微积分、线性代数、概率论与数理统计。二、数学一、二、三的考试范围不同：数学（一）：高等教学约56%，线性代数约22%，概率论与数理统计约22%。数学（二）：高等数学约78%；线性代数约22%。数学（三）：高等数学约56%；线性代数 约22%；概率论与数理统计约22%。
2022数三题型分值分布如下：
考研数学三的题型有选择、填空、解答，分值分别为32、24、94。
考试的内容：
高等数学：84分，占56%。
线性代数：33分，占22%。
概率论与数理统计：33分，占22%。
考点比数学一要少，但题目难度上偏高。
线性代数考试介绍：
行列式。
考试内容：行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理。
考试要求。
1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质。
2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
矩阵。
考试要求。
1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质。
2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。
3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。
4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法。
5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则。
参考如下第一章 行列式 13分左右第二章 矩阵 26分左右第三章 向量空间 21分左右第四章 线性方程组 19分左右第五章 特征值与特征向量 16分左右第六章 实二次型 5分左右