这个题目是有问题的。设环R={[a b；0 c]}，其中a，b，c为实数。也就是实数域上的2阶上三角矩阵做成的环。可知单位矩阵是其单位元，纯量矩阵是其全部中心元素。但是其中心（也就是纯量矩阵做成的环），不是R的理想。
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举头望明月，低头思故乡。
1a 按子群的定义去证明即可，H为G的子群《===》对任意a,b∈H, a·b^(-1)∈H。本题即证明任给x，y∈H1∩H2，有x·y^(-1)∈H1∩H2由于x，y∈H1，所以x·y^(-1)∈H1，同理x·y^(-1)∈H2所以x·y^(-1)∈H1∩H2 ，H1∩H2 是G的子群。1b G为整数加法群Z，H1=<2> ,H2=<3> 即H1为2的倍数，H2为3的倍数 H1和H2为子群，但H1∪H2不为子群，很明显5=2+3不属于H1∪H2 不满足封闭性。2 证明写出来有点长，第一同态定理，建议你看看书，网上有很多中文的近世代数书First homomorphism theoremLet G and H be groups, and let φ: G → H be a homomorphism. Then:The kernel of φ is a normal subgroup of G,The image of φ is a subgroup of H, andThe image of φ is isomorphic to the quotient group G / ker(φ).In particular, if φ is surjective then H is isomorphic to G / ker(φ).证明建议你看看就是证明Q对Z的商群的元素只有有限阶。很简单 ，Q中任何一个元素可以写成 m/n 其中m和n 是整数那么任给 r= m/n+Z ∈Q/Z 有nr=n(m/n+Z)=m+Z=Z=0+Z 即nr为Q/Z中单位元，r的阶为n，有限阶证明H是G的子群且其指标【G：H】=2，证明H为G的正规子群H是正规子群的定义是 任给g属于G，h属于H,有 g乘H乘g的逆=H【G:H】=2,则|G/H|=2,设G/H={H,aH} ,则G=H∪aH，其中a不属于H因为H在G中的指数为2,所以Ha,aH都是G的不同于H的子群,所以必有Ha=aH成立. 所以aH(a的逆)=H若g属于H，显然g乘H乘g的逆=H 若g属于aH，g=ab 其中b属于H ，呢么 g乘H乘g的逆=abH(b的逆)(a的逆)=aH(a的逆)=H素数阶群一定是循环群。设p为素数,|G|=p,由于G的所有元素的阶都可以被p整除,故任取a∈G,a的阶要么是1要么是p,只有单位元e的阶为1，自然G中必有阶为p的元素设a的阶=p,如此a^p=e且e、a、a^2、a^3…a^(p-1)∈G是不同的p个元素注意|G|=p,故G={1,a,a^2…a^(p-1)}=, G是由生成元a生成的循环群.
现在手头没书，等我明晚回学校看书后帮你看看哈～
做自然同态f:G->G/N，若G/N是单群，则N必是G的极大正规子群，否则可设H是真包含N的G的正规子群，则G/H≌(G/N)/(H/N)，由对应定理f(H)=H/N是G/N的真正规子群（因为H/N≠N），与G/N是单群矛盾反过来，若G/N不是单群，则N必不是极大正规子群，因为此时G/N有真正规子群N/H，所以f-1(N/H)=H是G的真包含N的正规子群，与N是极大正规子群矛盾。
讨论前提是一个整环。1 不可约元均为素元也就意味着是一个唯一分解整环（当然要满足因子链条件）。而后者意味着要求这个整环是主理想整环。一个唯一分解整环不一定是主理想整环，而主理想整环一定是唯一分解的。因此这个题答案是否定的。比如Z[x]，整系数多项式环，是唯一分解的（显然），但不是主理想整环。1+x与x^2是互素的（没有公因式），但怎么加都不会出来1的。2 Z(根号-5)不是唯一分解整环。先证其中的单位只有正负1.记D=根号-5，则有a+bD为单位必有其范数为1.于是a^2+5b^2=1，有a=正负1，b=0。所以所有不可约元就是只有他本身与1两个约数（负的不算）。不妨设x是可约的，则有x=(a+bD)(c+dD)两边取范数知N(x)=(a^+5b^2)(c^2+5d^2)如果令x是不可约的，必有a^2+5d^2=1,c^2+5d^2=N(x)(负的先不考虑）是唯一的可能情形。考虑所以c^2+5d^2可能的值，列出就是1 4 5 6 9 14...所有范数不能表示为这个列中两数之积的就是不可约元。比如2，3 1+D, 1-D，2+D等，恐怕没法写出通式来。举例算一个吧2+D设2+D=(a+bD)(c+dD)左右取范数有9=(a^2+5b^2)(c^2+5d^2)反设可约，则必有a^2+5b^2=c^2+5d^2=3，这是不可能的。
我们知道，整数环中的每一个合数都可以唯一地分解成素数的乘积； 域 F 上每个次数大于零的可约多项式，都可以唯一地分解成不可约多项式的乘积。这是整数环和多项式环中元素的最基本最重要的性质之一。下面我们将把整数环和多项式环的一些性质推广到更一般通用的环上去。
环的直和分解将大环分解为小环，使得结构更加简单。从整数的算术基本定理得到启发，我们还可以从乘法分解的角度来研究环。要使这个定向研究得到有用的结论，还需对环作一些限制。既然我们关注是因子，乘法顺序就显得多余且碍事，所以要求环是可交换的。另外零因子的讨论也是没有意义的，故规定所有非零元素都是正则元。故我们只需讨论整环中元素的乘法分解，为简化描述，以下将忽略对零元素的讨论。
和初等数论中一样，若 ，称 b 整除 a，或 b 是 a 的 因子 ，记作 ，否则记作 。关于整除的常规讨论都比较简单，这里不再赘述。我们把注意力放在分解的多种可能性上，最后试图得到类似算术基本定理的结论。在分解的过程中，可逆元总是可以随处出现或消除，它就像整数环中的±1，并不影响分解的本质。这就是为什么可逆元 也叫 单位 ，如果 ，我们 a, b 称是 相伴 的，相伴元在分解中可以可作是等价的，相伴还有一种等价定义：如果 ，同时 ，则称 a, b 是 相伴 的。既然要考虑可逆元，就必须要求乘法存在单位元，故以下讨论仅针对有单位元的整环。
对任意元素 ，它的所有相伴元和单位都是 a 的 平凡因子 ，其它的则是 真因子 。有真因子的元素叫 可约元 ，否则叫不可约元，显然整数环的不可约元就是素数。有了因子和不可约元的定义，我们就可以尝试模仿算术基本定理了。通过这里的讨论，你会明白算术基本定理的确不是显而易见的，它是需要一定条件的。首先每个元素都要有有限分解，其次分解在相伴元的意义下要是唯一的，满足这两个条件的元素称为可 唯一分解 的，所有元素满足条件的环就叫 唯一分解环 。由于环的元素没有大小的概念，无限分解是可能的，而且容易举出有多种分解的例子。
• 讨论 的单位及 9 在其中的分解。
现在我们的问题自然是，什么样的环才是唯一分解环？先来看看唯一分解环的性质，对不可约元p如果有 ，则由唯一分解性容易证明， 和 至少有一个成立。现在把这个概念抽取出来，满足以上条件的元素称为环的 素元 ，素元肯定是不可约元，唯一分解环中的不可约元都是素元。对于一般的环，当素元和不可约元重合时，可以由反证法得知，只能有限分解的元素是唯一分解的。从而一个环唯一分解的充要条件就是，环的元素有限分解且素元和不可约元等价。
得到唯一分解环后，可以同初等数论中一样定义公约数。若 c 是 共同的因子，则称c为它们的公因子。环的元素没有大小的概念，所以不好直接定义最大公因子，回顾最大公约数的多个等价定义，找一个仅使用了整除的定义即可。如果 d 是 的公因子，且任何公因子都是 d 的因子，称 d 为 最大公因子 ，最大公因子为单位的元素称为 互素 的。最大公因子不一定存在，但对于唯一分解环，容易得到最大公因子的存在性。
素元的定义一定程度上就是唯一分解本身，这个判断条件并不能带给我们更多有用的信息，判断和构造唯一分解环仍然不是一件容易的事情。整数环中引入带余除法后，可以得到最大公约数的更多性质，这些性质也能得到算术基本定理。但由于一般环中没有大小的概念，这些性质不一定成立，但却启发了我们如何构造更一般的唯一分解环。这里介绍两个重要的唯一分解环，它们的定义中都有着整数环最大公约数的影子。
整数环的任何理想都有一个最小数，这个数是理想的最大公约数，且它的所有倍数都在理想中，即该理想是其最大公约数生成的主理想。任何理想都是主理想的环被称为 主理想环 。主理想环首先保证了分解的有限性，因为无限分解列的生成理想也是主理想，该主理想的生成元既是分解列的结尾。另外，设主理想环R中的不可约元 ，考察 ，容易证明它必是极大理想。从而商环 为域，而 ，故必有 或 ，即 或 。这样就证明了，主理想环是唯一分解环。
• 求证高斯整数环是主理想环。（提示：考察绝对值最小的元素）
研究唯一分解环更直接的方法当然是在环R中定义带余除法，为此定义一个从非零元素到正整数的映射φ，对环中的任何元素 存在 ，其中 或 。如果这样映射存在，R 被称为欧式环。若 且 在 N 中值最小，由定义容易证明N中的任何元素都以 a 为因子，从而 N 为主理想，进而 R 是唯一分解环。 • 求证高斯整数环是欧式环；（提示：在 中逼近） • 求证域上的多项式环 是欧式环。（提示：考虑阶）
高斯整数环 是对整数环的扩充，它的元素是所有 形式的复数。 称为 z 的 范数 ，容易证明范数有以下性质。上面的习题已经证明了高斯整数环是唯一分解环，以此为例子，我们来简单分析一下这个环的分解情况。首先比较容易得到，G 的单位集合为 。接下来就是研究 的素元，为了区别起见，这里先把整数环的素数叫做有理素数。
高斯整数环是整数环的子环，故每个高斯整数首先可以按照算术基本定理分解为有理素数之积。再由分解的唯一性，素元必定是某个有理素数的因子，所以我们只需研究有理素数 p 的分解。p 的范数为 ，故它的因子不可能超过两个，这就说明了 p 要么自身为素元，要么有两个共轭素元 ，且 。进一步地，其实就是研究不定方程 是否有解。
首先对唯一的偶素数有 ，所以 2 不是素元，它有素因子 。对 p 为奇数的场景，可以得到 ，由初等数论的知识可知，等式成立的必要条件是 ，即 。所以当 时，p 本身就是素元。而当 时， 有解，从而 ，但是 ，所以 p 不是素元（注意 不一定是素元）。
在结束环的讨论之前，我们以多项式环为例来看看环理论的应用。高等代数中讨论的是域上的多项式，这里我们先从一般的环开始，然后再在特殊的环中进行研究，你会得到更高的视角看待多项式。之前我们已经给出过多项式环的定义，这里进一步研究多项式的根和因式分解。
对多项式 ，考虑将 带入其表达式，得到的结果 叫 在 处的值，满足 的 称为多项式的 根 或 零点 。这里要注意带入的多项式必须是完全展开的，对非交换环 R，若 ，显然不一定有 ，当然这个等式对交换环是一定成立的。为方便讨论，把 的次数记作 ，显然有以下关系式。当首相系数不是零因子时，还有 。 有了这些基本概念，我们接着讨论根与多项式分解的关系。对域上的多项式 ，高等代数中使用除法，可以得到以下公式（3），且 唯一。回顾计算过程，其实对含幺环上的多项式，只需要求 的首项系数是单位即可。所以这个结论对一般含幺环也可以成立，只需选择合适的 。特别地，对任意 ，如果取 ，则有 。将右边展开并将 代入两边，整理后（ 与 可交换）得到 ，这就是 余数定理 （公式（4））。要注意这个证明中并不能直接将a代入，因为R不一定是交换环。
接着上面的讨论，当 a 是 的根时，可以得到 。反之如果 ，则有 ，在交换环中该式为 0（非交换环中不一定成立）。这样我们就有结论：交换含幺环中，有公式（5）的等价关系。再假设含幺环的多项式 的不同零点为 ，则首先有 。若为交换环，则有 ，若还为无零因子环，则 ，故 。以此类推，容易知道根的个数不大于多项式的次数 n，在 个不同的点值相同的多项式是唯一的。总结就是：含幺整环上的多项式 最多有 个根。这个结论看似显然，但每个条件都是不可或缺的，比如在四元数除环 H 中， 的根显然不止一个。 • 求证：在整数环上， 不可约。（提示：反证）
以上定理给出了含幺整环上的多项式的因式分解方法，但还有两个问题需要解决。一个就是如何找到根，目前还没有一般性的方法，这里只介绍一种求商域根的方法。设 为整环 的商域，考察 在 中的解 ，带入方程并展开。如果假设 （这就要求整环是唯一分解环），则有 且 。它可以作为方程解的筛选方法，比如求解整系数方程的有理解。
• 求多项式 的有理根。
另一个问题就是如果有 ，该如何判定定 甚至确定 n 的值？当 时，n 称为根 a 的 重数 ，特别地 时，a 称为 重根 ，否则称为 单根 。微积分中使用多项式的导数判断重根，这个方法在环中还是可以成立的。我们把 称为 的 形式微商 ，容易验证在含幺整环中微商的一般性质仍然成立。和微积分中一样，a为重根的充要条件是 ，一直使用这个结论就还可以得到重数。另外由于域上的多项式环唯一分解，若 ，则 没有共同根，故 没有重根。
多项式的因式分解一般并不容易，但在常见数域中已经有一些比较有用的结论。比如由代数基本定理（复变函数中介绍）可知，复数域上的多项式都可以分解为若干个一次因式。进而容易证明，实系数多项式根的共轭也是根（共轭运算的性质），所以实数域的多项式都可以分解为若干个一次和二次因式。而对有理数域上的多项式，都可以转化成对整数环多项式的讨论。下一节中将给出求解有理根的方法，和判定多项式不可约的一个充分条件，一定程度可以帮助有理数域多项式的分解。
现在继续讨论多项式的因式分解，如果要考察其唯一分解性，首先当然要求系数环R是唯一分解环。分解中系数的公因子总可以先提取出来，系数公因子只有单位的多项式被称为本原多项式，这个概念可以简化讨论。我们自然有个小问题，本原多项式的因式当然一定是本源多项式，那么反过来呢？本原多项式的积还是本原的吗？结论是肯定的，观察多项式乘积每一项的组成形式（参考下图），若 p 是乘积展开式的公因子，如图考察 次项有 ，矛盾。这就证明了本原多项式的乘积也是本原多项式，该结论也叫高斯引理。
多项式 可以分解为 ，其中 为本原多项式。要证 的唯一分解性，只需证 的唯一分解性。由于 的阶数有限，且其因式也是本原的，所以 上的分解首先一定是有限的。现在只需讨论唯一性，前面的习题中已经得到，域上的多项式环是唯一分解环，而每个整环都有其商域。为了考察唯一分解环 R 上多项式环 ，可以借助 的商域的多项式环 的唯一分解性。
对 中的不可约的本源多项式 ，在 中讨论其分解性，当然我们只关注阶数大于 的因式。如果在 中有 ，总可以添加一些系数 ，使得等式（6）成立，其中 为 中的本原多项式。根据高斯引理， 也是本原多项式，容易证明 相伴，消去 即得 与 也相伴。这和 不可约矛盾，故 在 也是不可约的。从而如果本原多项式 有不同的分解方法，它们在 中也是不同的分解，这与 的唯一分解性矛盾，我们得到的结论就叫 高斯定理 。
具体分解本原多项式 并没有一般方法，即使判断本原多项式是否可约都是困难的，这里只介绍一个不可约的充分条件： 爱森斯坦判别法 （Eisenstein）。若存在素元 p 使得 但 ，参考高斯定理的证明方法，可判定本原多项式不可约。首先可以假定 ，由于 ，总可以找到 而 。考察 容易证 ，与条件矛盾，故 f(x) 不可约。
爱森斯坦判别法虽然不是不可约多项式的必要条件，但它对不可约本原多项式的判定非常有用，比如可以肯定任意次本原多项式都有不可约多项式 。值得一提的是，容易验证 与 的可约性是一样的，灵活使用这个变形有时可以构造出判别法的结构。 • 求证： 在唯一分解环中不可约； • 求证： 在有理数域中不可约； • 求证： 在有理数域中不可约。
多元多项式环 有一个特殊的子环 Σ，其中的每个元素都非常“对称”。准确来讲就是， 对 的任意置换都保持不变，这样的多项式就叫做 对称多项式 。在这些多项式中，有几个是最基础的（公式（7）），它们被称为 基本对称多项式 。这些式子也许你并不陌生，这正是闭域上 n 次多项式方程的 韦达定理 ，它给出了方程根与系数的关系（公式（8））。
在中学你多少都接触过对称多项式，我们这里介绍它们的一个漂亮结论。你可以想象，将这 n 个元素带入任何一个 n 元多项式，得到的仍然是对称多项式。我们的结论正是它的反命题：任何多项式 都可以用这 n 个元素的多项式表示，即公式（9）成立，以下证明过程其实也是生成多项式的构造过程。首先一个对称多项式可以按照项的次数分成几个多项式之和 ，其中 中的每一项的次数都是 k。容易证明 也是对称多项式，一般称之为 齐次对称多项式 ，基本多项式就是典型例子。如果我们能证明结论在齐次多项式中成立，则在一般多项式中也成立。
为了便于讨论，我们将 m 次齐次多项式 的项 以 进行字典排序。考虑到的 展开后的最大项为式子（10），可以反向构造 N使得其最大项与 的最大项 M 相等，两式相减后的最大项一定小于之前的最大项。这个过程可以在有限步后结束，构造出的所有 N 便是生成多项式的项， 对称多项式基本定理 得证。这个结论对任意环 R 都是成立的，由证明过程还可以知道，当 R 为整环时生成多项式是唯一的。
再回顾构造过程，每次选取的 的最大项的次数都是 m，故满足条件（11）。根据这个结论，我们可以使用待定系数法更快地得到某个具体的生成多项式。比如 ，设 ，取 的不同值带入，解方程组便得到生成多项式。
最后来讨论一下一类常用的对称多项式，它们是元素的 等幂和 ，我们需要知道它们和基本对称多项式的关系。为了得到结论，以下设 ，充分利用韦达定理和 的形式特点，构造次数小于 n 的多项式 ，可以得到式（12）。比较等式两边的 n 次项，就得到著名的牛顿公式（公式（13）(14)），这个公式可以在 和 之间进行转换。
域是一种比较“完整”的结构，它的限制条件比较多，结构自然也就不是很多样。现在我们来初步研究一下域的结构，研究的方法当然是从小域向大域扩展，若 F 是 E 的子域，E 也叫 F 的 扩域 或 扩张 。扩张当然要从最简单的域开始，我们比较熟悉的简单域有哪些？最简单的无穷域是有理数域，它是最小的数域，任何数域都包含有理数域；最简单的有限域是整数在素数 p 下的剩余类域 。这两种域都不再有真子域，我们把没有真子域的域称为 素域 ，一般记作 。
那么除了这两种熟知的素域外，还有别的素域吗？每个域都含有单位元 ，由 生成的域就是所有的素域，而它又是某个生成环的商域，故我们可以从 的生成环 讨论起。当 时， 与整数环 Z 同构，从而它们的商域同构，即 。当 时，前面已经讨论过，这样的环 都同构于同余环 ，进而有 。这样看来，同构意义的下的素域只有 Q 和 ，而且任何域都包含且仅包含一个素域。
有了最简单的域，接下来就开始对域进行扩张，并需要研究新添加元素的性质，以及扩域的结构特点。在F的扩域E中取子集S，F中添加S后生成的扩域记作 ，要注意这个定义总是以扩域E的存在为前提的。我们来讨论这种扩域累加起来有什么性质，考察 ，由定义知它是包含 的域，而 是包含 的最小域，故有 。同样也可以推到 ，这样就得到了公式（1）。
以上结论说明扩域 等价于有限步的局部扩张，而且扩张的顺序不影响结果。对局部扩张的研究会有助于整个扩域，特别地我们可以先专注于 的扩域 ，它们被称为 单扩域 。由域的定义及分式的特点，容易知道 中的元素都有格式 ，其中 为 F中的多项式。所有分式构成了单扩域，但不同分式是有可能指向相同元素的，下面我们就从这里出发，研究单扩域的结构。
多项式是扩域中的基础结构，对它的讨论可以帮助我们分析域的结构。将 代入 F 中的所有多项式 ，得到的值可能两两不同，也可能出现重复。当出现重复时，将多项式相减就会得到 ，存在这样多项式的 α 称为 F 的 代数元 ，否则称为 超越元 。代数元和超越元存在着本质的差异，需要从这个角度讨论单扩域的结构。对于有理数域在实数域内的扩张，代数数就是代数元，超越数就是超越元，这里实际上是对它们的扩展讨论。
对于诸多满足 的多项式，总可以找到次数最低的一个首 1 多项式。容易证明对代数元 α，这个多项式存在且唯一，它被称为α在F上的最小多项式 。最小多项式的次数也被称为代数元的次数，显然F中元素的次数都为1。最小多项式有些简单的性质，首先它在F上是不可约的，否则它必有一个因子满足 ，与最小多项式的定义矛盾。其次，对任何满足 的多项式，必有 ，否则使用带余除法可构造出次数更小的多项式满足 。
围绕着元素类型或最小多项式，单扩域的结构就比较明显了。虽然直觉已经告诉了你最终答案，但还是要用严格的推理来验证猜想。推理方法当然是从定义合适的同态映射开始，先验证生成环的同构，再推演到商域的同构，请自行验证。当 α 为超越元时，生成环显然和 同构，从而 同构于其商环 。当α为代数元时，可以证明生成环 同构于 ，由于 不可约，该表达式就是一个域，故有 。从而代数元的单扩域就是以 为模的多项式环（公式（2）），这个结论展示了单代数扩域的简洁结构，也说明了研究代数扩域的重要性。
以上的结果还表明，若 α 的次数为 n，则 的任何元素都是某个次数次数小于 n 的多项式的值 ，换句话说每个元素都是 在 F 上的线性组合，且容易证明表示法唯一。用线性代数的语言就是，单代数扩域 是F上的一个n维空间，空间的基为 。从这个角度分析单代数扩域也是很有用的。
在弄清楚单代数扩域的结构后，我们希望进一步研究由更多代数元生成的扩域，或所有元素都是代数元的扩域。首先一个自然的问题是，这两种扩域一样吗？为讨论方便，我们定义后者为 代数扩域 ，含有超越元的扩域则叫 超越扩域 。由于代数扩域总是由代数元生成的，刚才的问题自然变成：由代数元集合 S 生成的扩域 是否一定是代数扩域？直觉告诉我们这个结论是成立的，但仔细琢磨却又不那么明显。现在我们分两步来证明这个猜测，先考虑S为有限集的场景，然后再推广到无穷集。
单代数扩域的线性空间结构提示我们研究更一般扩域的维数，如果扩域 是 F 上的线性空间，这个空间的维数被称为 E 在 F 上的 次数 ，记作 。 有限时，E 称为 F 的 有限次扩域 ，否则叫 无限次扩域 。通过线性代数的简单推演，我们可以得到次数的累加性（公式（3））。以有限次扩域为例，设E 在 K 上的基为 ，K 在 F 上的基为 ，容易证明 就是 E 在 F 上的基（用线性表示并证明无关性）。
1a 按子群的定义去证明即可，H为G的子群《===》对任意a,b∈H, a·b^(-1)∈H。本题即证明任给x，y∈H1∩H2，有x·y^(-1)∈H1∩H2由于x，y∈H1，所以x·y^(-1)∈H1，同理x·y^(-1)∈H2所以x·y^(-1)∈H1∩H2 ，H1∩H2 是G的子群。1b G为整数加法群Z，H1=<2> ,H2=<3> 即H1为2的倍数，H2为3的倍数 H1和H2为子群，但H1∪H2不为子群，很明显5=2+3不属于H1∪H2 不满足封闭性。2 证明写出来有点长，第一同态定理，建议你看看书，网上有很多中文的近世代数书First homomorphism theoremLet G and H be groups, and let φ: G → H be a homomorphism. Then:The kernel of φ is a normal subgroup of G,The image of φ is a subgroup of H, andThe image of φ is isomorphic to the quotient group G / ker(φ).In particular, if φ is surjective then H is isomorphic to G / ker(φ).证明建议你看看就是证明Q对Z的商群的元素只有有限阶。很简单 ，Q中任何一个元素可以写成 m/n 其中m和n 是整数那么任给 r= m/n+Z ∈Q/Z 有nr=n(m/n+Z)=m+Z=Z=0+Z 即nr为Q/Z中单位元，r的阶为n，有限阶证明H是G的子群且其指标【G：H】=2，证明H为G的正规子群H是正规子群的定义是 任给g属于G，h属于H,有 g乘H乘g的逆=H【G:H】=2,则|G/H|=2,设G/H={H,aH} ,则G=H∪aH，其中a不属于H因为H在G中的指数为2,所以Ha,aH都是G的不同于H的子群,所以必有Ha=aH成立. 所以aH(a的逆)=H若g属于H，显然g乘H乘g的逆=H 若g属于aH，g=ab 其中b属于H ，呢么 g乘H乘g的逆=abH(b的逆)(a的逆)=aH(a的逆)=H素数阶群一定是循环群。设p为素数,|G|=p,由于G的所有元素的阶都可以被p整除,故任取a∈G,a的阶要么是1要么是p,只有单位元e的阶为1，自然G中必有阶为p的元素设a的阶=p,如此a^p=e且e、a、a^2、a^3…a^(p-1)∈G是不同的p个元素注意|G|=p,故G={1,a,a^2…a^(p-1)}=, G是由生成元a生成的循环群.
先试着翻译一下(这个题需要你翻一下离散数学里 关于群 子群的定义 和性质)：
这个题目是有问题的。设环R={[a b；0 c]}，其中a，b，c为实数。也就是实数域上的2阶上三角矩阵做成的环。可知单位矩阵是其单位元，纯量矩阵是其全部中心元素。但是其中心（也就是纯量矩阵做成的环），不是R的理想。
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题目有问题，C是子环不一定是理想
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法一：设f(x)=x^2+2x+1∈Z6[x]，可以类似复数域上多项式凑成平方式：f(x)=(x+1)^2，但要注意f(x)之系数都是Z6之元素。∴f(x)之根为x=-1=5法二：设f(x)=x^2+2x+1∈Z6[x]，则f(x)在Z6中要么没有根，要么有根α∈Z6={0,1,2,3,4,5}，因此将Z6元素逐一代入f（x），验证其是否等于0即可，有：f（0）=1，f（1）=4，f（2）=9=3，f（3）=16=4，f（4）=25=1，f（5）=36=0；∴f（x）之根为x=5注意，一般环上多项式求零点，不一定可以直接用求根公式
先试着翻译一下(这个题需要你翻一下离散数学里 关于群 子群的定义 和性质)：
『壹』 怎样才能免考自考的线性代数（经管类），什么科目能替代它，数学专业的可以吗 只看到江西省的一些专业有这样的政策，其他省份好像没有； 英语一专、二常被用属来替考，但不能申请学位；《线性》，基础课程不能、也没有必要免考吧，要不然自考成什么了，还何谈含金量，社会认可度？ 大伙儿一方面要追求自考的含金量，一方面又要求这个免、那个免，不觉得矛盾吗？加油吧！ 『贰』 自考会计本科04184线性代数课程难吗 目前的教育体制存在的一大问题，就是成绩中上等的学生在初高中阶段因为重复性训练内浪费容了太多的时间，留给大学以上的专业基础课的学习时间又太少。而且很多中学阶段的知识和概念是有局限性的，却因为大量的反复训练成为学生根深蒂固的观念，反而对大学的学习产生抵触情绪。 话不多说，多练习，尽量适应吧。 『叁』 自考中的线性代数这门课到底要怎么学才能通过 我读全日制，但是这门课我自己没去听过，我是考试挂了然后自己自习过的，我回当时就把线性答代数前三章看了下，边看边做题，后面的几章 会在考卷中出现，大概会占三四个大题，所以前面三章是基础，认真看，后面的看看公式和例题，就没问题了 『肆』 会计自考的线性代数很难吗 会计自考的线性代数不难啊。 经济学中的线性代数主要学习行列式、矩阵内、线性方程组、向量空间与容线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。 线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。 向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。 『伍』 自考线性代数（经管类）的教材 自考线性代数（经管类）是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学专对象之间属的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。 『陆』 自考本科的工程管理，里面的线性代数和概率论替换成什么科目了 考虑到成人自考的特点，这个标准还只相当于全日制普通高校同类专业本、专科生结业回水平的标准。因答此，自学考试的每套试题必须体现这个标准，也就是说要达到这个标准规定的难度和深度。应当说，这个标准既符合于自学考试培养和选拔人才的规格要求，同时也体现了自学考试的特点。具体反映这个标准的就是考试大纲。命题深度、难度就是按大纲的要求来确定的。 『柒』 安徽自考的课程金融法可以替代线性代数吗 具体的自己看看安徽省自考办对于免考的政策。 2016年安徽省自学考试课程免考实施细则 为适应我省教育改革发展要求，根据《高等教育自学考试暂行条例》第二十二条规定及全国考委《关于高等教育自学考试免考课程的试行规定》，经研究制定安徽省高等教育自学考试课程免考实施细则。 一、免考对象国家承认学历的全日制普通高等学校、经国家教育部批准或同意备案的成人高等学校和民办高等学校（以下简称各类高等学校）的研究生、本科、专科毕业生（含符合条件的肄业生和退学生）以及高等教育自学考试毕业生（含在考生），报考高等教育自学考试的，均可按本规定实施免考。 二、学历课程免考规定 1.报考同一学历层次第二专业的免考： 专科及以上毕业生报考自学考试专科（段）专业，或本科及以上毕业生报考自学考试本科（段）专业，可免考公共政治课（提供毕业证书即可）和课程名称相同、学分及内容要求同于或低于原所学专业的课程。免考课程不超过该专业课程总学分的一半。 2.报考高一学历层次专业的免考： 专科毕业生报考自学考试本科（段）专业，可免考课程名称相同、要求相同且成绩合格的公共政治课和课程名称相同、要求相同且成绩合格的本科段的专科加试课程。 3.高等教育自学考试课程合格成绩可在不同专业使用。 4.各类高等学校的专科、本科肄业生，退学生报考高等教育自学考试各专业，可以免考同一学历层次的课程名称相同、学分和内容要求同于或低于原所学课程且成绩合格的公共政治课和公共基础课程。 5.专科及以上毕业生报考高等教育自学考试各专业的考试，可免考与原所学专业相应的公共基础课程，具体如下： （1）数学专业毕业生可免考：高等数学（一）（00020）、高等数学（工专）（00022）、高等数学（工本）（00023）、概率论与数理统计（经管类）（04183）、线性代数（经管类）（04184）、概率论与数理统计（二）（02197）、线性代数（02198）； （2）各类外语专业毕业生可免考英语（一）（00012）、英语（二）（00015）； （3）物理专业毕业生可免考：物理（工）（00420）；物理（工）（实践）（00421） （4）汉语言文学、文秘、新闻等专业毕业生可免考：大学语文（04729）； （5）计算机专业毕业生可免考：计算机应用基础（00018）、计算机应用基础（实践）（00019）。 三、非学历证书免考规定 1.全国英语等级考试凡参加全国英语等级考试（PETS）二级（及以上）笔试成绩合格者，可免考英语（一）（00012）；凡参加全国英语等级考试（PETS0三级（及以上）笔试成绩合格者，可免考英语（二）（00015）。 2.全国计算机等级考试（1）凡获得全国计算机等级证书考试（NCRE）一级（及以上）合格证书者，可免考计算机应用基础（00018）、计算机应用基础（实践）（00019）或计算机应用技术（02316）、计算机应用技术（实践）（02317）；凡获得全国计算机等级证书考试（NCRE）二级（及以上）证书者，可免考管理系统中计算机应用（00051）、管理系统中计算机应用（实践）（00052）。 （2）凡获得全国计算机等级证书考试（NCRE）二级C（或C++）语言程序设计合格证书者，可免考高级语言程序设计（一）（00342）、高级语言程序设计（一）（实践）（00343）。 （3）凡获得全国计算机等级证书考试（NCRE）三级PC技术合格证书者，可免考微型计算机及接口技术（04732）、微型计算机及接口技术（实践）（04733）。 3.全国计算机应用技术证书考试（1）凡获得全国计算机应用技术证书（NIT）考试各模块之一合格证书者可免考计算机应用基础（00018）、计算机应用基础（实践）（00019）； （2）凡获得全国计算机应用技术证书（NIT）考试《管理系统中信息技术的应用》模块合格证书者可免考管理系统中计算机应用（00051）、管理系统中计算机应用（实践）（00052）。 4.全国中小学教师教育技术水平考试（NTST） 凡获得全国中小学教师教育技术水平考试（NTST）初级以上证书的考生，可以顶替中小学教师信息技术（中级）（课程代码：04304）课程的成绩；获得全国中小学教师教育技术水平考试（NTST）中级以上证书的考生，可以顶替中小学教师信息技术（高级）（课程代码：03301）课程的成绩。 5.大学英语等级考试凡获得大学英语等级考试四级以上（含四级）证书者或成绩不低于425分者可免考英语（一）（00012）、英语（二）（00015）。 四、其他 1.公共政治课包括：思想道德修养与法律基础（03706）、 *** 思想、 *** 理论和“ *** ”重要思想（03707）、中国近现代史纲要（03708）、马克思主义基本原理概论（03709）。 公共基础课包括：大学语文（04729）、高等数学（一）（00020）、高等数学（工专）（00022）、高等数学（工本）（00023）、概率论与数理统计（经管类）（04183）、线性代数（经管类）（04184）、物理（工）（00420）、物理（工）（实践）（00421）、英语（一）（00012）、英语（二）（00015）、计算机应用基础（00018）、计算机应用基础（00019）。 2.自学考试专业考试计划规定的学分数，每学分相当于18学时。 3.各类高校的选修课、辅修课，非学历教育的培训、进修课程及不做考试要求的其他类考查课程均不在免考申请范围。 五、办理免考手续参加安徽省高等教育自学考试，符合课程免考条件的，需由考生本人向当地考办提出申请，在规定的时间内办理有关课程免考手续。 申请者必须填写《安徽省高等教育自学考试免考课程申请表》一式四份，上报市考办审核，初审合格者由市考办集中报省自考办批准。经批准的免考课程，作为合格成绩进入考生电子档案。 六、凡有伪造、涂改和提供假证明材料者，一经查出，即取消其考试资格和已取得的合格成绩，并通知其所在单位进行处理。 对徇私舞弊的工作人员，按国家有关规定进行处理。 七、本规定自公布之日起实施。凡与本规定不一致的，以本规定为准。本规定由安徽省高等教育自学考试委员会负责解释。 『捌』 大专生学过线性代数、概率论与数理统计，自考本科可以免考吗 大专生学过线性代数、概率论与数理统计,自考本科可以免考的。 自考本科是我国版基本高等教育制度之一，自考文权凭效力与个人的努力程度相关，成绩合格后由主考学校和高等教育自学考试委员会联合颁发大学毕业证书，国家承认学历，符合条件者由主考大学授予学士学位。本科学历比专科学历找工作的优势显而易见，专科学历，无形之中将丧失许多理想的工作机会。当然，高学历并不必然能事业成功，许多没有学历的人一样创业很成功，但当今社会通常学历越高工作机会越多，上升空间越大，发展速度越快。 『玖』 线性代数和概率论与数理统计这两门课程好不好学自考自学考试过关的机会大不大 所谓的复过关如果是指考试合格的制话，那么自学过关的机会还是很大的 我个人认为这两门挺好学的，前提是有中学数学基础。这两门课程的应用性都很强，在计算机和电子领域都有应用，推荐先学线性代数，因为概率论与数理统计会有少量线性代数的内容（理论证明部分），它们不是孤立的。由此可见线性代数的重要性。 线性代数推荐武汉大学的那本教材，讲解通俗易懂，而且每章后面都有相应的实际背景应用例子，学起来难度不大。线性代数主要是抽象，要反复多看书多做习题。 概率论与数理统计，推荐茆诗松的那本教材例子很多很丰富，不知道题主有没有一些微积分基础，没有的话自学估计比较呛，但也不是不行。因为概率论会涉及一元和多元微积分计算等等内容，而数理统计是以概率论为基础，所以相应理论证明都涉及概率论知识，不过从总体上，概率论与数理统计只要抓住些核心的概念就行。 总之，如果仅仅是自学考试过关的话，机会很大 『拾』 请问自学考试《高等数学（工本）可以代替《线性代数.经管类》、《概率论与数理统计.经管类》吗 很遗憾，不能，线性代数，概率论与数理统计，积分变换，复变函数是属工程数学范畴，高等数学(无论工本还是工专)属基础数学范畴，几者之间内容完全不同，不能互相顶替！
甘肃2010年自学考试科目 十月二十四日上午 （星期六） 十月二十四日下午 （星期六） 十月二十五日上午 （星期日） 十月二十五日下午 （星期日） （8：30—11：00） （2：00—4：30） （8：30—11：00） （2：00—4：30） 0012 英语（一） 0022 高等数学（工专） 0033 世界政治经济与国际关系 0009 政治经济学（财经类） 0067 财务管理学 0023 高等数学（工本） 0048 财政与金融 0043 经济法概论（财经类） 0075 证券投资与管理 0065 国民经济统计概论 0055 企业会计学 0071 社会保障概论 0143 经济思想史 0068 外国财政 0066 货币银行学 0161 财务报表分析（一） 0147 人力资源管理（一） 0135 农业经济与管理 0070 政府与事业单位会计 0194 旅游法规 0162 会计制度设计 0142 计量经济学 0138 中国近现代经济史 0228 环境与资源保护法学 0163 管理心理学 0148 国际企业管理 0154 企业管理咨询 0244 经济法概论 0189 旅游与饭店会计 0149 国际贸易理论与实务 0156 成本会计 0312 政治学概论 0200 客源国概况 0191 旅行社经营与管理 0159 高级财务会计 0316 西方政治制度 0230 合同法 0223 中国法制史 0170 建筑工程定额与预算 0322 中国行政史 0242 民法学 0227 公司法 0182 公共关系学 0358 刑事侦查学 0290 农村社会学 0235 犯罪学（一） 0193 饭店管理概论 0395 科学.技术.社会 0320 领导科学 0236 监狱学基础理论 0199 中外民俗 0412 小学班主任 0349 中国近现代政治思想 0257 票据法 0229 证据法学 0420 物理（工） 0359 保卫学 0261 行政法学 0243 民事诉讼法学 0456 教育科学研究方法（二） 0372 公安信息学 0262 法律文书写作 0263 外国法制史 0533 中国古代文学作品选（二） 0409 美育基础 0319 行政组织理论 0321 中国文化概论 0541 语言学概论 0454 教育预测与规划 0341 公文写作与处理 0323 西方行政学说史 0603 英语写作 0464 中外教育简史 0342 高级语言程序设计（一） 0356 公安管理学 0656 广播新闻与电视新闻 0529 文学概论（一） 0350 西方近现代政治思想 0408 小学科学教育 0660 外国新闻事业史 0540 外国文学史 0354 公安学基础理论 0411 小学数学教学论 0790 中国政治制度史 0596 英语阅读（二） 0361 公安法规 0449 教育管理原理 0794 综合英语（一） 0600 高级英语 0407 小学教育心理学 0466 发展与教育心理学 0917 民法原理与实务 0655 报纸编辑 0410 小学语文教学论 0531 中国当代文学作品选 0925 公证与基层法律服务实务 0662 新闻事业管理 0429 教育学（一） 0534 外国文学作品选 0933 罪犯改造心理学 0814 中国古代文论选读 0451 教育经济学 0539 中国古代文学史（二） 2005 常微分方程 0910 网络经济与企业管理 0457 学前教育管理 0597 英语写作基础 2009 抽象代数 0928 罪犯劳动改造学 0458 中小学教育管理 0839 第二外语（俄语） 2120 数据库及其应用 0989 国外饮食文化 0536 古代汉语 0840 第二外语（日语） 2232 电工技术基础 2007 中学数学教学法 0654 新闻采访写作 0853 广告学（二） 2237 自动控制系统及应用 2021 实变函数与泛函分析 0659 新闻摄影 0860 公安行政诉讼 2241 工业用微型计算机 2142 数据结构导论 0795 综合英语（二） 0924 婚姻家庭法原理与实务 2333 软件工程 2194 工程经济 0812 中国现当代作家作品专题研究 0935 西方监狱制度概论 2369 计算机通信接口技术 2230 机械制造 0830 现代语言学 0987 餐饮美学 2376 信息系统开发 2331 数据结构 0918 民事诉讼原理与实务（一） 2010 概率论与数理统计（一） 2382 管理信息系统 2400 建筑施工（一） 0932 狱内侦察学 2015 偏微分方程 2398 土力学及地基基础 2440 混凝土结构设计 0986 中国饮食文化 2020 数学分析（四） 2447 建筑经济与企业管理 2446 建筑设备 0993 法院与检察院组织制度 2110 心理统计 2634 生物化学（二） 2664 农业气象学 2014 微分几何 2113 医学心理学 2672 作物育种学 2665 农业生态基础 2159 工程力学（一） 2198 线性代数 2785 兽医微生物学 2767 动物生理生化 2195 数控技术及应用 2202 传感器与检测技术 2852 农业推广项目管理与评价 2790 家畜外科学 2240 机械工程控制基础 2236 可编程控制器原理与应用 2853 林业推广学 2901 病理学 2373 计算机通信网 2338 光纤通信原理 2862 视听教育 3006 护理管理学 2387 工程测量 2379 计算机网络管理 3001 外科护理学（一） 3162 林学概论 2394 房屋建筑学 2396 混凝土及砌体结构 3002 妇产科护理学（一） 3203 外科护理学（二） 2660 植物学（二） 2404 工程地质及土力学 3010 妇产科护理学（二） 3323 劳动经济学 2676 作物栽培生理 2448 建筑结构试验 3011 儿科护理学（二） 4747 Java语言程序设计（一） 2745 森林生态学 2674 植物病虫害防治 3142 互联网及其应用 4754 电子商务与电子政务 2787 兽医药理学 2677 田间试验与统计方法 3164 环境科学概论 5374 物流企业财务管理 2791 家畜传染病与寄生虫病 2792 兽医卫生检验 3326 社会保障国际比较 5619 心理咨询与辅导（一） 2903 药理学（一） 2845 农业推广技能 3706 思想道德修养与法律基础 5624 心理治疗（一） 2996 护理伦理学 2998 内科护理学（一） 3709 马克思主义基本原理概论 5678 金融法 3008 护理学研究 3005 护理教育导论 4406 情绪心理学 6004 设施农业原理与技术 3009 精神障碍护理学 3166 社会林业 5372 国际物流导论 3141 局域网技术与组网工程 3169 生态经济管理 5621 心理的生物学基础 3325 劳动关系学 3173 软件开发工具 6002 建筑结构抗震设计 3347 流体力学 3322 劳动和社会保障法 6050 人际关系心理学 3349 政府经济管理概论 3350 社会研究方法 6231 现代教育测量与评价学 4735 数据库系统原理 3707 毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想概论 5616 心理测量与评估 3708 中国近现代史纲要 5627 职业辅导 4729 大学语文 6123 导游学概论 4732 微型计算机及接口技术 4737 C++程序设计 5362 物流英语 5628 团体咨询 5680 婚姻家庭法 6059 心理学研究方法求采纳
自考是除了统招外含金量最高的一种形式了，自考报名没什么限制，只要是中华人民共和国国籍，不分民族、种族、性别、学历限制，都可以报名，就算小学毕业也可以，自考的学历也是国家承认的，考研、考公务员、出国留学，以后工作上升职、加薪、评职称都是没问题的，建议你去你们甘肃自考网上看看，那上面有很多你想了解的信息，你可以看看甘肃有哪些学校开设了自考，开设自考的学校又有什么专业，自考的专业很多的，我不可能在这给你一一列举，自考的时间国家统考是4月和10月，有些地方在1月和7月也有加考，现在报名，10月份会有考试，自考主要以自学为主，你要有时间和精力可以自学，不过要能坚持，因为你付出的努力是不亚于高考的，当然了你可以去报一些助学班，那样可以省心些，毕业也快，但费用相对也要高，希望这些对你有帮助吧
第一章 基本概念 本章中介绍的一些基本概念是数学各个分支的基础，也是学习本课程各个代数体系的必备知识。其主要内容有 1.集合的概念与运算 2.映射的定义与几种特殊映射的性质 3.卡氏积与代数运算 4.等价关系与集合的分类 考试要求： 掌握集合的概念与运算，掌握集合的交、并、集合 的幂集 的定义及表示，熟练掌握习题7、8的结论；了解映射的定义与几种特殊映射的性质，掌握映射的合成，熟练掌握定理1.6及习题2、6的结论；掌握代数运算的定义与判定方法， 熟练掌握习题2；掌握等价关系与集合的分类的定义及相关性质，能够由等价关系得出集合分类，并能正确给出商集，熟练掌握习题5、6。 第二章 群 群是具有一种代数运算的代数体系，即具有一个代数运算的集合，它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支。其主要内容有 1.半群的定义及性质 2.群的定义及等价条件 3.元素阶的定义及性质 4.循环群的定义及结构 5.子群及判定条件 6.变换群 7.群的同态与同构、Cayley定理 8.子群的陪集、Lagrange定理 9.正规子群与商群、正规子群的等价条件 10.同态基本定理与同构定理 考试要求： 掌握半群的定义及定理2.1、定理2.2、定理2.3、定理2.4的结论；掌握群的定义及性质，如定理2.5、定理2.6及推论； 熟练掌握群的一些重要例子，如例1、例3、例4、例7，熟练掌握习题2、3、6、9；掌握元素阶的定义及相关重要性质，如定理2.8、定理2.9、定理2.10，熟练掌握例1、例2；熟练掌握循环群的定义、构造及性质，如定理2.11、定理2.12、定理2.13及推论1、推论2， 熟练掌握例5、例6及习题2、3、5、8、9；熟练掌握子群的定义及性质，如定理2.14、定理2.16、定理2.21及例3、例5、习题2、4、5； 掌握变换群的概念及有关结论，熟练掌握 次对称群、循环置换的概念及性质，特别是3次、4次对称群元素的表示、运算及性质，如定理2.23、定理2.24、定理2.25、定理2.27、例4及习题4；掌握群的同态、同构的定义、性质以及Cayley定理及定理2.28、定理2.30，会求同态象与同态核，掌握习题1、2；掌握子群陪集的概念及性质，熟练掌握Lagrange定理及及其推论1、推论2、例5、例6，熟练掌握习题2、3、 4、5；掌握正规子群的定义及等价命题定理2.40， 能够正确判定子群与正规子群， 掌握例1、例2、例4、例6、例7的结论及习题2、3、6，正确掌握商群的概念及性质（推论）；掌握并正确使用同态基本定理，熟练掌握复习题二中的第2、4题。 第三章 环 环是具有两中代数运算的代数体系，它也是近世代数中的一个重要分支。其主要内容有 1. 环的定义；整环、除环、域的定义及性质 2. 子环及判定条件 3. 环的同态与同构 4. 理想与商环 5. 素理想与极大理想 6. 商域 7. 多项式环 8. 扩域 9. 有限域考试要求： 熟练掌握环、整环、除环、域的概念及相关命题：定理3.1及推论、定理3.2、定理3.3、定理3.4及推论。熟练掌握几个重要环的例子，如例1、例2、例3、例5、例7、例9、例10，掌握环的单位元、零因子的定义及性质，熟练掌握习题5、9、10、11；掌握子环、子域的概念以及判定定理3.5、定理3.6，掌握例例1、例4、例6， 需要注意：子环 与环 在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不一定一致；掌握环的同态与同构的定义及相关性质（定理3.10、定理3.11），会求同态象与同态核，需要注意：当 与 满同态时， 与 在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不完全一致；熟练掌握习题2、3；掌握理想与商环的概念及相关命题（定理3.14、定理3.17及推论、定理3.18）； 熟练掌握主理想的构造（推论1），熟练掌握例2、例5、例6、例7、例8及习题1、2、4、7；正确应用同态基本定理及同构定理； 掌握素理想与极大理想的定义、判定方法及相关命题（定理3.22、定理3.23及推论），熟练掌握例1、例2、例3、例4、例5及习题1、2、3；了解商域及多项式环的构造；了解域的研究方法，掌握代数元的极小多项式的性质及求法，掌握有限扩域的概念及定理3.35. 第四章 整环里的因子分解 在整数环 中，每个不等于 的非零整数都能分解成有限个素数的乘积，而且除了因数次序和 的因数差别外，分解是惟一的。同样，在数域 上的一元多项式环 中，每个次数 的多项式都能分解成有限个不可约多项式的乘积，而且除了因子次序和零次因式的差别外，分解是惟一的。在这一章里，我们将对一般的整环讨论元素分解的理论，给出整环中因子分解惟一性定理成立的一些条件，并介绍几种惟一分解定理成立的整环。其主要内容有 1. 不可约元、素元、最大公因子 2. 惟一分解环 3. 主理想环 4. 欧氏环 5. 惟一分解环上的一元多项式环 6. 因子分解与多项式的根 考试要求： 掌握整环中的单位、相伴、真因子、不可约元、素元、最大公因子的概念及其性质，熟练掌握例1、例2及习题2、3、4；掌握惟一分解元、惟一分解环的定义及其性质，熟练掌握例1及习题1；熟练掌握主理想环的概念及主理想环的例子，如：整数环 、域 上的一元多项式环 ，知道整数环 上的一元多项式环 不是主理想环，掌握定理4.14、定理4.15、定理4.16及其习题4、5；熟练掌握欧氏环的定义及欧氏环的例子，如：整数环 、高斯（Gauss）整数环 、域 、域 上的一元多项式环 ，掌握定理4.17、定理4.18；掌握惟一分解环上的一元多项式环也是惟一分解环；了解因式分解与多项式的根的概念及其性质，掌握例子及习题1、2、3. 三、有关说明 （一）教材： 自学教材：1、《近世代数》，朱平天主编，科学出版社，2001年版；2、《抽象代数基础》，李克正主编，清华大学出版社，2007年。 教材1可作为应考者复习应考的主要参考教材，教材2可作为应考者补充和提高抽象代数知识的主要参考。本课程考试命题以大纲为依据。 其他参考书目： 《近世代数基础》，张禾瑞编，人民教育出版社， 1984年版。（二）自学方法的指导 本课程作为一门专业课程，内容抽象，综合性强，自学者在自学过程中应该注意以下几点： 1.本课程在学生具备初等代数、高等代数知识的基础上，系统地学习群、环、域的基础知识。因此，自学前，要注意知识的积累与衔接。应仔细阅读课程考试大纲，了解课程的性质、地位和要求，熟悉掌握课程的基本内容，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。 2.所配教材是自学的主要依据，自学时应结合教材及课程考试大纲和参考书目，熟练掌握基本概念和方法的同时，能结合具体例子进行练习和运用，以达到本课程的要求。 （三）对社会助学的要求 1.应熟知考试大纲对课程所提出的总的要求和各章节的知识点。 2.对考生进行辅导时，主要以指定的教材为主，同时以考试大纲为依据，关注补充参考书目，注重提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，增强数学修养与技巧，提高解决问题的能力。 （四）关于命题和考试的若干规定 1.本大纲各章节所提到的考核要求中，各条细目都是考试的内容，试题覆盖到各章节，适当突出重点章节，加大重点内容的覆盖密度。 2.试题难度结构合理，记忆、理解、综合性试题比例大致为4：4：2. 3.本课程考试试卷可能采用的题型有：填空题、判断改错题、计算简答题、证明题（见附件题型示例）。 4.考试方式为闭卷笔试，考试时间为150分钟，评分采用百分制，60分为及格。