本文目录 1、线性系统Linear System 2、Vectors、Matrices 2.1 向量Vectors 2.2 矩阵Matrix 2.3 矩阵与向量相乘 3、线性方程组有解么？ 3.1 线性方程组 3.2 线性组合Linear Combination 3.3 张成的空间Span 4、线性方程组有多少个解 4.1 线性相关和线性无关 4.2 秩Rank 5、求解线性方程组 5.1 初等行变换 5.2 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form 5.3 满秩 6、矩阵乘法 6.1 矩阵乘法的含义 6.2 矩阵乘法的性质 6.3 分块矩阵乘法 7、逆矩阵 7.1 什么是矩阵的逆 7.2 初等矩阵 7.3 什么矩阵是可逆的？ 7.4 求解一个矩阵的逆 8、行列式 8.1 什么是行列式？ 8.2 行列式的性质 8.3 行列式的计算 9、子空间 9.1 子空间 9.2 零空间 9.3 列空间和行空间 10、基Basis 10.1 什么是基Basis 10.2 基的特性 10.3 判断一个集合是否为基 10.4 三种空间的基和维度 11、坐标系 11.1 使用基表示向量 11.2 直角坐标系和其他坐标系的转换 11.3 坐标系与线性方程 12、特征值和特征向量 12.1 什么是特征值和特征向量 12.2 如何计算特征向量 12.3 检查一个标量是否为特征值 12.4 计算特征值 12.5 正定矩阵&半正定矩阵 13、对角化 13.1 可对角化 13.2 可对角化的性质 14、正交 14.1 范数和距离 14.2 点积和正交 14.3 正交补 14.4 正交投影 14.5 如何做正交投影 14.6 正交投影的应用-求解线性回归 14.7 正交基 14.8 正交矩阵 14.9 对称矩阵 15、奇异值分解 15.1 什么是奇异值分解？ 1、线性系统Linear System 一个线性系统满足两个条件：Persevering Multiplication和Persevering Addition。 Persevering Multiplication Persevering Addition 多元线性方程组是一个线性系统 。 2、Vectors、Matrices 2.1 向量Vectors 向量是一堆数的集合，分为列向量和行向量，本文中，向量默认是列向量，行向量用其转置表示。 向量与标量相乘 ，每一维都与该标量相乘： 向量相加 ，使用平行四边形法则： 零向量 ：所有维度的值都为0： 标准向量 ：一个维度是1，其余维度是0: 向量集 ：可以包含有限个或无限个向量： Rn : 所有的n维向量组成的向量集合 2.2 矩阵Matrix 矩阵是一组向量： 如果矩阵有m行和n列，我们就说矩阵的大小为m*n，如果m=n，我们称为方阵（square matrix）。 矩阵的元素下标表示，先行后列： 矩阵与标量相乘 ：每一个元素分别与该标量相乘。 矩阵相加 ：两个矩阵的形状必须一致，同位置的元素分别相加。 零矩阵 ：所有元素均为0的矩阵。 单位矩阵Identity matrix ：必须是方阵，对角线元素为1，其余为0，用In表示n*n的单位矩阵。 同形状的矩阵的一些运算法则 ： 矩阵的转置 ：沿左上到右下的对角线为轴进行翻转，将(i,j)位置的元素与(j,i)位置的元素互换得到的矩阵，转置的矩阵用AT表示。 矩阵转置的一些运算规则 ： 2.3 矩阵与向量相乘 矩阵和向量相乘，结果如下： 从行的角度来看矩阵和向量相乘 ：从行的角度看，矩阵A和向量x相乘，其结果是矩阵的A的每一行与向量x做点积(dot product,后面再介绍) 的结果。 从列的角度来看矩阵和向量相乘 ：从列的角度看，矩阵A和向量x相乘，相当于对矩阵A的列向量做了一次线性组合。 因此，无论从行角度还是列角度，矩阵A的列数要与向量x的维数相同。 矩阵和向量相乘的一些性质 ： 如果A和B都是m*n的矩阵，对所有的w，如果都有Aw=Bw，那么是否意味着A=B。结果是显然的。既然是所有的w，那么我们用标准向量就可以得到A和B的每一列都是相同的，因此A=B。 3、线性方程组有解么？ 3.1 线性方程组 对于一个线性方程组，我们可以写成矩阵和向量相乘的形式： 对于一个线性方程组，其解的情况可能是无解，有唯一解或者有无穷多个解。我们把所有的解的集合称为 解集(solution set) 如果线性方程组有解，我们就称其为 相容的(consistent) ，若无解，则称为 不相容的(inconsistent) 。 3.2 线性组合Linear Combination 线性组合是一个操作，将各个向量缩放之后，相加在一起，就得到了参与操作的向量之间的线性组合。 所以线性方程组的问题可以转变成：b是否可以表示成A中列向量的线性组合？ 举几个例子： 通过观察上面的例子，你可能会想，在二维平面中，是不是只要两个向量不平行，就一定有解？答案是肯定的，但有解时两个向量不一定平行，因为目标向量也可能跟它们平行。 3.3 张成的空间Span 对于一个向量集S，其向量的所有线性组合组成的向量集V，称为 Span(S) ，也被称为 S张成的空间 。 举几个二维空间中的例子吧，如果S中只有零向量，那么其张成的空间也只有零向量。 如果S中包含一个非零向量，那么其张成的空间是一条直线： 如果一个向量集包含两个不平行的非零向量，那么其可以张成整个二维平面： 所以一个线性方程组的问题又可以转换成两一个等价的问题：向量b是否在A的列向量所张成的空间中？ 4、线性方程组有多少个解 在上一节中，我们知道了如果b可以表示成A中列向量的线性组合或者b在A的列向量所张成的空间中，那么线性方程组有解，否则无解。但是，有解的情况下是唯一解还是多个解呢？我们还不知道。 4.1 线性相关和线性无关 给定一个向量集，如果其中一个向量可以表示成其余向量的线性组合，那么我们就说这组向量是 线性相关(Linear Dependent) 的。值得注意的是，零向量是任意向量的线性组合，因此只要包含零向量的向量集，都是线性相关的。 线性相关还有另一种定义，即可以找到一组非全零的标量，使得线性组合为零向量。 与之相对应，如果无法找到一组非全零的标量，使得线性组合得到零向量，那么这组向量就是 线性无关的(Linear Independent) ： 判断向量集是线性无关还是线性相关，其实就是看一个 齐次方程(Homogeneous Equations) 有无非零解： 由此，对于Ax=b，我们可以得到两个结论：如果A的列是线性相关的，且Ax=b有解，那么，它有无穷多个解；如果Ax=b有无穷多个解，那么A的列是线性相关的： 4.2 秩Rank 矩阵的秩(Rank) 定义为线性无关的列的最大数目： 矩阵的零化度(Nullity) 是矩阵的列数减去矩阵的秩： 也就是说，如果一个m*n的矩阵，其秩为n的话，它的列是线性无关的： 所以总结一下线性方程组的解的相关问题： 5、求解线性方程组 5.1 初等行变换 如果两个线性方程组的解集是相同的，我们就称它们是等价的(equivalent)。 对线性方程组做以下三种操作可以得到等价的方程组： 1）交换两行 2）对其中一行变为k倍 3）将一行的k倍加到另一行上 上面的三种操作我们也称为 初等行变换(elementary row operations) 这里我们介绍一下 增广矩阵(Augmented Matrix) ，即将A和b进行横向拼接： 因此，通过初等行变换，如果我们能够将增广矩阵转换为一个相对简单的形式，那么我们可以很快的得出最终的解。 5.2 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form 我们首先介绍行阶梯形式的矩阵，它满足两个条件，首先是非零行要在全零行的上面，其 先导元素(leading entries，每行的第一个非零元素) 按阶梯型排列： 在上述两个条件的基础上，如果先导元素所在的列都是标准向量的话，那么它就是 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form ： 下面的矩阵不是简化行阶梯形式： 而下面的矩阵是简化行阶梯形式： 根据简化行阶梯形式，我们很容易得到线性方程组的解的形式。 如果简化行阶梯形式是[I;b']的，那么线性方程组有唯一解： 下面的例子是有无穷多个解的情况，可以看到，第1、3、5列是包含先导元素的标准向量，其对应的变量也称为基本变量，而第2、4个变量被称为自由变量： 下面的例子是无解的情况，先导元素出现在了最后一列： 通过将增广矩阵化简为简约行阶梯形式，进而求解线性方程组解的方法，我们称之为 高斯消元法(Gaussian Elimination) 接下来，我们来看一下简约行阶梯型形式的一些性质： (1)化简为简约行阶梯型形式之后，列之间的关系不变 也就是说， 初等行变换不改变矩阵中列之间的关系 。加入A的简约行阶梯形式是R，那么Ax=0和Rx=0有相同的解集。 但是对于行来说，行阶梯形式改变了行之间的关系，比如原先两行是两倍的关系，其中一行变为二倍之后，二者就相等了，关系自然改变了。 (2)简约行阶梯形式改变了矩阵列所张成的空间 举个简单的例子就能理解，假设一个矩阵是[[1,2],[2,4]]，它所张成的空间是y=2x，化简后得到[[1,0],[0,0]]，此时所张成的空间却是整个平面。但是没有改变行所张成的空间。 (3)先导元素所在的列线性无关，其他列是这些列的线性组合 先导元素所在的列，在原矩阵中被称为 主列(pivot columns) ,这些列是线性无关的，其他列可以有主列的线性组合得到。 (4) 矩阵的秩等于主列的个数，等于简约行阶梯型里非0行的个数 根据这个性质，我们可以得到矩阵的秩的一个性质： Rank(A) <= Min(Number of columns,Number of rows) 因为秩等于主列的个数，所以秩一定小于等于列的个数，因为秩等于简约行阶梯型中非零行的个数，所以秩一定小于等于矩阵行的个数。 有这个性质我们还可以得出两个简单的结论： 对于m*n的矩阵A，如果m
线性代数经管类考试重点章节如下：第1章 行列式行列式行列式按行（列）展开行列式的性质与计算 35%，克拉默法则第2章矩阵 13%2-1 矩阵运算 10%，2-2 方阵的逆矩阵 5%，2-3 分块矩阵，2-4 矩阵的初等变换与初等方阵 5%，2-5 矩阵的秩，2-6 矩阵与线性方程组 16%第3章 向量空间3-1 n维向量的概念及其线性运算10 %，3-2 线性相关与线性无关 2%，3-3 向量组的秩，3-4 向量空间第4章线性方程组，齐次线性方程组，非齐次线性方程组，特征值与特征向量第五章5-1 特征值与特征向量 5%，5-2 方阵的相似变换，5-3 向量内积和正交矩阵 5%，5-4 实对称矩阵的相似标准形第6章 实二次型6-1 实二次型扱其标准形，6-2 正定二次型和正定矩阵复习建议1、有总体的把握，对教材阐述的基本原理才能认真领会。在此基础上，应进一步有重点地深入学习，即对整个学科中的一些重要理论，要重点学习和掌握，要弄懂弄通，能用自己的语言复述出来，能用一些事例来加以解释和说明。比如劳动价值论和剩余价值论就是本课程中的两个重点理论，学好这部分理论，对其他理论的学习和理解有直接的帮助。2、此外，对学习中的难点和疑点，要尽量弄清楚，一方面可以在反复自学和联系性思考中，对难点、疑点逐步解难释疑。3、另一方面，还可通过助学、辅导来解决自己搞不懂的问题。辅导读物一般都对重点理论进行了归纳，以利于考生掌握各章节的重点，可通过对这些重点问题的简要归纳来加强记忆。许多辅导书还有一定数量的与国家自学考试题型相同的模拟试题，通过阅读和试做这些模拟试题，能加深考生对书中内容的理解，帮助考生加强记忆，并使考生熟悉自学考试的题型。可在系统地学习了这门课程的情况下，做一两份与实际考试题型和试卷结构相同的模拟考题，通过这种方式进行一下综合自测，从而发现哪些问题还没弄清楚，哪些方面还学得不扎实或记得不牢，然后再结合教材、辅导材料和参考答案，反复加深印象，达到全面复习、掌握课程内容的目的。4、在认真读书的基础上，还可利用考试大纲来检验和加深对教材也即整个理论的理解。考试大纲是编写教材和命题的依据，大纲明确列出了各章节的课程内容、考核知识点和考核要求。对课程内容，大纲只列了要点，可以此为线索回忆教材是如何分析的。大纲所列考核知识点和考核要求，是考试命题所要测试的范围，如果对某些知识点印象不深或理解不透，则说明这部分内容自学还有欠缺，要通过再重复读教材，或求助于一些辅导材料等方式，把这些问题弄懂。自考/成人高考有疑问、不知道如何选择主考院校及专业、不清楚自考/成考当地政策，点击底部咨询官网老师，免费领取复习资料：
线性代数知识点总结
线性代数知识在学习的几个阶段都有相关的知识点出现，下面线性代数知识点总结是我为大家整理的，在这里跟大家分享一下。
线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，太奇考研专家们提醒广大的2013年的考生们必须注重计算能力。线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对2012年考研的同学们学习有帮助。
行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式。如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现。行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等）的计算方法也应掌握。常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算。关于每个重要题型的具体方法以及例题见《20xx年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。
矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础。矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终。这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程。涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题。这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题。常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。
向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解。常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。
往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容。本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次（非齐次）线性方程组的求解（含对参数取值的讨论）。主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。
特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。重点题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。
由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。重点内容包括：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念；了解二次型的规范形和惯性定理；掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形；理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法。重点题型有：二次型表成矩阵形式、化二次型为标准形、二次型正定性的判别。
一、行列式与矩阵
行列式、矩阵是线性代数中的基础章节，从命题人的角度来看，可以像润滑油一般结合其它章节出题，因此必须熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式——具体行列式的计算和抽象行列式的计算。其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型，主要方法是应用行列式的性质及按行（列）展开定理化为上下三角行列式求解；而对于抽象行列式而言，考点不在如何求行列式，而在于结合后面章节内容的相对综合的题。
矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵各种运算律、矩阵的基本性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩、初等矩阵等。
二、向量与线性方程组
向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，而其后两章特征值和特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式——矩阵形式和向量形式；二是线性方程组与向量以及其它章节的各种内在联系。
（1）齐次线性方程组与向量线性相关、无关的联系
齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立——印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立；但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系——齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。
（2）齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系
同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过“秩→线性相关、无关→线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量（基础解系）线性表示。
（3）非齐次线性方程组与线性表出的联系
非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量
三、特征值与特征向量
相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关性，“牵一发而动全身”。
本章知识要点如下：
1、特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。
2、相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：
3、矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件一是n阶矩阵有n个线性无关的特征值；二是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。
4、实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于以其特征值为对角元素的对角阵。
四、二次型
这部分所讲的内容从根本上讲是特征值和特征向量的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵，必存在正交矩阵，使其可以相似对角化”，其过程就是上一章实对称矩阵相似对角化的应用。
本章核心要点如下：
1、用正交变换化二次型为标准型。
2、正定二次型的判断与证明。
线性代数的学习切入点是线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。
线性方程组
线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。
关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：
1、方程组是否有解，即解的存在性问题；
2、方程组如何求解，有多少个；
3、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。
高斯消元法
这最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：
1、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；
2、交换某两个方程的位置；
3、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。
任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。
由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。
对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。
可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。
系数矩阵和增广矩阵
高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。
阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。
对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现d=0这一项，则方程组无解，若未出现d=0一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解；若r 在利用初等变换得到阶梯型后，还可进一步得到最简形，使用最简形，最简形的特点是主元上方的元素也全为零，这对于求解未知量的值更加方便，但代价是之前需要经过更多的初等变换。在求解过程中，选择阶梯形还是最简形，取决于个人习惯。 齐次方程组 常数项全为零的线性方程称为齐次方程组，齐次方程组必有零解。 齐次方程组的方程组个数若小于未知量个数，则方程组一定有非零解。 利用高斯消元法和解的判别定理，以及能够回答前述的基本问题：解的存在性问题和如何求解的问题，这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论。 对于n个方程n个未知数的特殊情形，我们发现可以利用系数的某种组合来表示其解，这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组（或矩阵）的行列式。行列式的特点：有n！项，每项的符号由角标排列的逆序数决定，是一个数。 通过对行列式进行研究，得到了行列式具有的一些性质（如交换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行展开等等），这些性质都有助于我们更方便的计算行列式。 用系数行列式可以判断n个方程的n元线性方程组的解的情况，这就是克莱姆法则。 总而言之，可把行列式看作是为了研究方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容。 线性代数占考研数学总分值的22%，约34分，以2个选择题、1个填空题、2个解答题的形式出现。虽然线性代数的考点众多，但要把这5个题目的分值完全收入囊中，则需要进行重点题型重点突破。 矩阵的秩 矩阵是解决线性方程组的解的有力工具，矩阵也是化简二次型的方便工具。矩阵理论是线性代数的重点内容，熟悉掌握了矩阵的相关性质与内容，利用其来解决实际应用问题就变得简单易行。正因为矩阵理论在整个线性代数中的重要作用，使它变为考试考查的重点。矩阵由那么多元素组成，每一个元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩！ 通过几十年考研考试命题，命题老师对题目的形式在不断地完善，这也要求大家深入理解概念，灵活处理理论之间的关系，能变通地解答题目。例如对矩阵秩的理解，对矩阵的秩与向量组的秩之间的关系的理解，对矩阵等价与向量组等价之间区别的理解，对矩阵的秩与方程组的解之间关系的掌握，对含参数的矩阵的处理以及反问题的解决能力等，都需要在对概念理解的基础上，联系地看问题，及时总结结论。 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的特征值与特征向量在将矩阵对角化过程中起着决定作用，也是将二次型标准化、规范化的便捷方式，故特征值与特征向量也是考查重点。对于特征值与特征向量，须理清其相互关系，也须能根据一些矩阵的特殊性求得其特征值与特征向量（例如根据矩阵各行元素之和为3能够判断3是其一个特征值，元素均为1的列向量是其对应的特征向量），会处理含参数的情况。 线性方程组求解 对线性方程组的求解总是通过矩阵来处理，含参数的方程组是考查的重点，对方程组解的`结构及有解的条件须熟悉。例如2010年第20题（数学二为22题），已知三元非齐次线性方程组存在2个不同的解，求其中的参数并求方程组的通解。此题的关键是确定参数！而所有信息完全隐含在"AX=b存在2个不同的解"这句话中。由此可以得到齐次方程组有非0解，系数矩阵降秩，行列式为0，可求得矩阵中的参数；非齐次方程组有解故系数矩阵与增广矩阵同秩可确定唯一参数及b中的参数。至于确定参数后再求解非齐次方程组就变得非常简单了。 二次型标准化与正定判断 二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连，即与矩阵的特征值与特征向量紧密联系。这里需要掌握一些处理含参数矩阵的方法以便运算中节省时间。正定二次型有很优秀的性质，但毕竟这是一类特殊矩阵，判断一个矩阵是否属于这个特殊类，可以使用正定矩阵的几个充要条件，例如二次型矩阵的特征值是否全大于0，顺序主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。 历年考研数学真题解析线性代数命题特点解析 考研数学是研究生招生入学考试中通过笔试的形式对考生数学功底的考查，从近几年的考研数学历年真题分析结果来看，可以得出一个结论：线性代数的难度在高数和概率统计之间，且大多数的同学认为线性代数试题难度不大，就是计算量稍微偏大点，线代代数的考查是对基本方法的考查，但是往往在做题过程中需要利用一些性质进行辅助解决。 线性代数的学科特点是知识点之间的综合性比较强，这也是它本身的一个难点。这就需要同学们在复习过程中，注意对于知识点间的关联性进行对比着学习，有助于巩固知识点且不易混淆。 总体来说，线性代数主要包括六部分的内容，行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型。 一、行列式部分，熟练掌握行列式的计算。 行列式实质上是一个数或含有字母的式子，如何把这个数算出来，一般情况下很少用行列式的定义进行求解，而往往采用行列式的性质将其化成上或下三角行列式进行计算，或是采用降阶法（按行或按列展开定理），甚至有时两种方法同时用。此外范德蒙行列式也是需要掌握的。行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等等。同学们只要掌握了基本方法即可。 二、矩阵部分，重视矩阵运算，掌握矩阵秩的应用 。 通过考研数学历年真题分类统计与考点分布，矩阵部分的考点集中在逆矩阵、伴随矩阵、矩阵的秩及矩阵方程的考查。此外，含随矩阵的矩阵方程，矩阵与行列式的关系、逆矩阵的求法也是考生需要掌握的知识点。涉及秩的应用，包含秩与矩阵可逆的关系，矩阵及其伴随矩阵秩之间的关系，矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，矩阵等价与向量组等价的区别与联系，系数矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析。 三、向量部分，理解相关无关概念，灵活进行判定。 向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。要求考生掌握线性相关、线性表出、线性无关的定义。以及如何判断向量组线性相关及线性无关的方法。 向量组的秩和极大无关组以及向量组等价这些重要的知识点要求同学们一定一定掌握到位。 这是线性代数前三个内容的命题特点，而行列式的矩阵是整个线性代数的基础，对于行列式的计算及矩阵的运算与一些重要的性质与结论请考生朋友们一定要务必掌握，否则的话，对于后面四部分的学习会越学越难，希望同学们在复习过程中一定注意前面内容的复习，为后面的考研数学复习打好基础。 前面我们已经分析过，考研数学线性代数这门学科整体的特点是知识点之间的综合性比较强，有些概念较为抽象，这也是大部分考生认为考研数学线性代数不好学，根本找不到复习的头绪，做题时也是一头雾水，不知道怎么分析考虑。 这里，老师要求大家在学习过程中一定要注意知识间之间的关联性，理解概率的实质。如：矩阵的秩与向量组的秩之间的关联，矩阵等价与向量组等价的区别，矩阵等价、相似、合同三者之间的区别与联系、矩阵相似对角化与实对称矩阵正交变换对角化二者之间的区别与联系等等。若是同学们对于上面的问题根本分不清楚，则说明大家对于基本概念、基本方法还没有完全理解透彻。不过，大家也不要太焦急，希望同学们在后期的复习过程中对于基本概念、基本方法要多加理解和体会，学习一定要有心得。 下面我们分析一下后面三部分的内容，线性方程组、特征值与特征向量、二次型的命题特点。 线性方程组，会求两类方程组的解。线性方程组是线性代数这么学科的核心和枢纽，很多问题的解决都离不开解方程组。因而线性方程组解的问题是每年必考的知识点。对于齐次线性方程组，我们需要掌握基础解系的概念，以及如何求一个方程组的基础解系。清楚明了基础解系所含线性无关解向量的个数和系数矩阵的秩之间的关系。会判断非齐次线性方程组的解的情况，掌握其求解的方法。此外，考生还需要掌握非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组的解结构之间的关系。 特征值与特征向量，掌握矩阵对角化的方法。这一部分是理论性较强的，理解特征值与特征向量的定义及性质，矩阵相似的定义，矩阵对角化的定义。同学们还需掌握求矩阵特征值与特征向量的基本方法。会判断一个矩阵是否可以对角化，若可以的话，需要把相应的可逆矩阵P求出来。还需要注意矩阵及其关联矩阵（转置、逆、伴随、相似）的特征值与特征向量的关系。反问题也是喜欢考查的一类题型，已知矩阵的特征值与特征向量，反求矩阵A。 二次型，理解二次型标准化的过程，掌握实对称矩阵的对角化。二次型几乎是每年必考的一道大题，一般考查的是采用正交变换法将二次型标准化。掌握二次型的标准形与规范型之间的区别与联系。会判断二次型是否正定的一般方法。讨论矩阵等价、相似、合同的关系。 虽然线性代数在考研数学考试试卷中仅有5题，占有34分的分值，但是这34分也不是很轻松就能拿下的。同学们在复习过程中需要对于基础知识点理解透彻，做考研数学题过程中多分析总结。 本文目录 1、线性系统Linear System 2、Vectors、Matrices 2.1 向量Vectors 2.2 矩阵Matrix 2.3 矩阵与向量相乘 3、线性方程组有解么？ 3.1 线性方程组 3.2 线性组合Linear Combination 3.3 张成的空间Span 4、线性方程组有多少个解 4.1 线性相关和线性无关 4.2 秩Rank 5、求解线性方程组 5.1 初等行变换 5.2 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form 5.3 满秩 6、矩阵乘法 6.1 矩阵乘法的含义 6.2 矩阵乘法的性质 6.3 分块矩阵乘法 7、逆矩阵 7.1 什么是矩阵的逆 7.2 初等矩阵 7.3 什么矩阵是可逆的？ 7.4 求解一个矩阵的逆 8、行列式 8.1 什么是行列式？ 8.2 行列式的性质 8.3 行列式的计算 9、子空间 9.1 子空间 9.2 零空间 9.3 列空间和行空间 10、基Basis 10.1 什么是基Basis 10.2 基的特性 10.3 判断一个集合是否为基 10.4 三种空间的基和维度 11、坐标系 11.1 使用基表示向量 11.2 直角坐标系和其他坐标系的转换 11.3 坐标系与线性方程 12、特征值和特征向量 12.1 什么是特征值和特征向量 12.2 如何计算特征向量 12.3 检查一个标量是否为特征值 12.4 计算特征值 12.5 正定矩阵&半正定矩阵 13、对角化 13.1 可对角化 13.2 可对角化的性质 14、正交 14.1 范数和距离 14.2 点积和正交 14.3 正交补 14.4 正交投影 14.5 如何做正交投影 14.6 正交投影的应用-求解线性回归 14.7 正交基 14.8 正交矩阵 14.9 对称矩阵 15、奇异值分解 15.1 什么是奇异值分解？ 1、线性系统Linear System 一个线性系统满足两个条件：Persevering Multiplication和Persevering Addition。 Persevering Multiplication Persevering Addition 多元线性方程组是一个线性系统 。 2、Vectors、Matrices 2.1 向量Vectors 向量是一堆数的集合，分为列向量和行向量，本文中，向量默认是列向量，行向量用其转置表示。 向量与标量相乘 ，每一维都与该标量相乘： 向量相加 ，使用平行四边形法则： 零向量 ：所有维度的值都为0： 标准向量 ：一个维度是1，其余维度是0: 向量集 ：可以包含有限个或无限个向量： Rn : 所有的n维向量组成的向量集合 2.2 矩阵Matrix 矩阵是一组向量： 如果矩阵有m行和n列，我们就说矩阵的大小为m*n，如果m=n，我们称为方阵（square matrix）。 矩阵的元素下标表示，先行后列： 矩阵与标量相乘 ：每一个元素分别与该标量相乘。 矩阵相加 ：两个矩阵的形状必须一致，同位置的元素分别相加。 零矩阵 ：所有元素均为0的矩阵。 单位矩阵Identity matrix ：必须是方阵，对角线元素为1，其余为0，用In表示n*n的单位矩阵。 同形状的矩阵的一些运算法则 ： 矩阵的转置 ：沿左上到右下的对角线为轴进行翻转，将(i,j)位置的元素与(j,i)位置的元素互换得到的矩阵，转置的矩阵用AT表示。 矩阵转置的一些运算规则 ： 2.3 矩阵与向量相乘 矩阵和向量相乘，结果如下： 从行的角度来看矩阵和向量相乘 ：从行的角度看，矩阵A和向量x相乘，其结果是矩阵的A的每一行与向量x做点积(dot product,后面再介绍) 的结果。 从列的角度来看矩阵和向量相乘 ：从列的角度看，矩阵A和向量x相乘，相当于对矩阵A的列向量做了一次线性组合。 因此，无论从行角度还是列角度，矩阵A的列数要与向量x的维数相同。 矩阵和向量相乘的一些性质 ： 如果A和B都是m*n的矩阵，对所有的w，如果都有Aw=Bw，那么是否意味着A=B。结果是显然的。既然是所有的w，那么我们用标准向量就可以得到A和B的每一列都是相同的，因此A=B。 3、线性方程组有解么？ 3.1 线性方程组 对于一个线性方程组，我们可以写成矩阵和向量相乘的形式： 对于一个线性方程组，其解的情况可能是无解，有唯一解或者有无穷多个解。我们把所有的解的集合称为 解集(solution set) 如果线性方程组有解，我们就称其为 相容的(consistent) ，若无解，则称为 不相容的(inconsistent) 。 3.2 线性组合Linear Combination 线性组合是一个操作，将各个向量缩放之后，相加在一起，就得到了参与操作的向量之间的线性组合。 所以线性方程组的问题可以转变成：b是否可以表示成A中列向量的线性组合？ 举几个例子： 通过观察上面的例子，你可能会想，在二维平面中，是不是只要两个向量不平行，就一定有解？答案是肯定的，但有解时两个向量不一定平行，因为目标向量也可能跟它们平行。 3.3 张成的空间Span 对于一个向量集S，其向量的所有线性组合组成的向量集V，称为 Span(S) ，也被称为 S张成的空间 。 举几个二维空间中的例子吧，如果S中只有零向量，那么其张成的空间也只有零向量。 如果S中包含一个非零向量，那么其张成的空间是一条直线： 如果一个向量集包含两个不平行的非零向量，那么其可以张成整个二维平面： 所以一个线性方程组的问题又可以转换成两一个等价的问题：向量b是否在A的列向量所张成的空间中？ 4、线性方程组有多少个解 在上一节中，我们知道了如果b可以表示成A中列向量的线性组合或者b在A的列向量所张成的空间中，那么线性方程组有解，否则无解。但是，有解的情况下是唯一解还是多个解呢？我们还不知道。 4.1 线性相关和线性无关 给定一个向量集，如果其中一个向量可以表示成其余向量的线性组合，那么我们就说这组向量是 线性相关(Linear Dependent) 的。值得注意的是，零向量是任意向量的线性组合，因此只要包含零向量的向量集，都是线性相关的。 线性相关还有另一种定义，即可以找到一组非全零的标量，使得线性组合为零向量。 与之相对应，如果无法找到一组非全零的标量，使得线性组合得到零向量，那么这组向量就是 线性无关的(Linear Independent) ： 判断向量集是线性无关还是线性相关，其实就是看一个 齐次方程(Homogeneous Equations) 有无非零解： 由此，对于Ax=b，我们可以得到两个结论：如果A的列是线性相关的，且Ax=b有解，那么，它有无穷多个解；如果Ax=b有无穷多个解，那么A的列是线性相关的： 4.2 秩Rank 矩阵的秩(Rank) 定义为线性无关的列的最大数目： 矩阵的零化度(Nullity) 是矩阵的列数减去矩阵的秩： 也就是说，如果一个m*n的矩阵，其秩为n的话，它的列是线性无关的： 所以总结一下线性方程组的解的相关问题： 5、求解线性方程组 5.1 初等行变换 如果两个线性方程组的解集是相同的，我们就称它们是等价的(equivalent)。 对线性方程组做以下三种操作可以得到等价的方程组： 1）交换两行 2）对其中一行变为k倍 3）将一行的k倍加到另一行上 上面的三种操作我们也称为 初等行变换(elementary row operations) 这里我们介绍一下 增广矩阵(Augmented Matrix) ，即将A和b进行横向拼接： 因此，通过初等行变换，如果我们能够将增广矩阵转换为一个相对简单的形式，那么我们可以很快的得出最终的解。 5.2 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form 我们首先介绍行阶梯形式的矩阵，它满足两个条件，首先是非零行要在全零行的上面，其 先导元素(leading entries，每行的第一个非零元素) 按阶梯型排列： 在上述两个条件的基础上，如果先导元素所在的列都是标准向量的话，那么它就是 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form ： 下面的矩阵不是简化行阶梯形式： 而下面的矩阵是简化行阶梯形式： 根据简化行阶梯形式，我们很容易得到线性方程组的解的形式。 如果简化行阶梯形式是[I;b']的，那么线性方程组有唯一解： 下面的例子是有无穷多个解的情况，可以看到，第1、3、5列是包含先导元素的标准向量，其对应的变量也称为基本变量，而第2、4个变量被称为自由变量： 下面的例子是无解的情况，先导元素出现在了最后一列： 通过将增广矩阵化简为简约行阶梯形式，进而求解线性方程组解的方法，我们称之为 高斯消元法(Gaussian Elimination) 接下来，我们来看一下简约行阶梯型形式的一些性质： (1)化简为简约行阶梯型形式之后，列之间的关系不变 也就是说， 初等行变换不改变矩阵中列之间的关系 。加入A的简约行阶梯形式是R，那么Ax=0和Rx=0有相同的解集。 但是对于行来说，行阶梯形式改变了行之间的关系，比如原先两行是两倍的关系，其中一行变为二倍之后，二者就相等了，关系自然改变了。 (2)简约行阶梯形式改变了矩阵列所张成的空间 举个简单的例子就能理解，假设一个矩阵是[[1,2],[2,4]]，它所张成的空间是y=2x，化简后得到[[1,0],[0,0]]，此时所张成的空间却是整个平面。但是没有改变行所张成的空间。 (3)先导元素所在的列线性无关，其他列是这些列的线性组合 先导元素所在的列，在原矩阵中被称为 主列(pivot columns) ,这些列是线性无关的，其他列可以有主列的线性组合得到。 (4) 矩阵的秩等于主列的个数，等于简约行阶梯型里非0行的个数 根据这个性质，我们可以得到矩阵的秩的一个性质： Rank(A) <= Min(Number of columns,Number of rows) 因为秩等于主列的个数，所以秩一定小于等于列的个数，因为秩等于简约行阶梯型中非零行的个数，所以秩一定小于等于矩阵行的个数。 有这个性质我们还可以得出两个简单的结论： 对于m*n的矩阵A，如果m 数学公式LaTeX公式 线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方程称为线性方程。变于关量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。 线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数 非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。 行列式非零[图片上传失败...(image-954f75-1560909100556)] 矩阵可逆[图片上传失败...(image-93246c-1560909100555)] 方阵满秩[图片上传失败...(image-53ff6-1560909100556)] 向量组满秩（向量个数等于维数）。 矩阵的行列式，determinate（简称det），是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量。是为求解线性方程组而引入的。 计算方式：对角线法则 计算方式：对角线法则 性质1 行列式与它的转置行列式相等 注：行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k，等于用数k乘以此行列式. 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则等于对应的两个行列式之和. 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 1）利用定义 2）利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值 定理中包含着三个结论： 1）方程组有解；（解的存在性） 2）解是唯一的；（解的唯一性） 3）解可以由公式(2)给出. 定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 . 定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. 齐次线性方程组的相关定理 定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于0，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解. 定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零. 1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于理论推导． 本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式. 行列式与矩阵加法的比较： 反对称矩阵(skew symmetric matrix) 分块矩阵不仅形式上进行转置，而且每一个子块也进行转置． 线性代数经管类考试重点章节如下：第1章 行列式行列式行列式按行（列）展开行列式的性质与计算 35%，克拉默法则第2章矩阵 13%2-1 矩阵运算 10%，2-2 方阵的逆矩阵 5%，2-3 分块矩阵，2-4 矩阵的初等变换与初等方阵 5%，2-5 矩阵的秩，2-6 矩阵与线性方程组 16%第3章 向量空间3-1 n维向量的概念及其线性运算10 %，3-2 线性相关与线性无关 2%，3-3 向量组的秩，3-4 向量空间第4章线性方程组，齐次线性方程组，非齐次线性方程组，特征值与特征向量第五章5-1 特征值与特征向量 5%，5-2 方阵的相似变换，5-3 向量内积和正交矩阵 5%，5-4 实对称矩阵的相似标准形第6章 实二次型6-1 实二次型扱其标准形，6-2 正定二次型和正定矩阵复习建议1、有总体的把握，对教材阐述的基本原理才能认真领会。在此基础上，应进一步有重点地深入学习，即对整个学科中的一些重要理论，要重点学习和掌握，要弄懂弄通，能用自己的语言复述出来，能用一些事例来加以解释和说明。比如劳动价值论和剩余价值论就是本课程中的两个重点理论，学好这部分理论，对其他理论的学习和理解有直接的帮助。2、此外，对学习中的难点和疑点，要尽量弄清楚，一方面可以在反复自学和联系性思考中，对难点、疑点逐步解难释疑。3、另一方面，还可通过助学、辅导来解决自己搞不懂的问题。辅导读物一般都对重点理论进行了归纳，以利于考生掌握各章节的重点，可通过对这些重点问题的简要归纳来加强记忆。许多辅导书还有一定数量的与国家自学考试题型相同的模拟试题，通过阅读和试做这些模拟试题，能加深考生对书中内容的理解，帮助考生加强记忆，并使考生熟悉自学考试的题型。可在系统地学习了这门课程的情况下，做一两份与实际考试题型和试卷结构相同的模拟考题，通过这种方式进行一下综合自测，从而发现哪些问题还没弄清楚，哪些方面还学得不扎实或记得不牢，然后再结合教材、辅导材料和参考答案，反复加深印象，达到全面复习、掌握课程内容的目的。4、在认真读书的基础上，还可利用考试大纲来检验和加深对教材也即整个理论的理解。考试大纲是编写教材和命题的依据，大纲明确列出了各章节的课程内容、考核知识点和考核要求。对课程内容，大纲只列了要点，可以此为线索回忆教材是如何分析的。大纲所列考核知识点和考核要求，是考试命题所要测试的范围，如果对某些知识点印象不深或理解不透，则说明这部分内容自学还有欠缺，要通过再重复读教材，或求助于一些辅导材料等方式，把这些问题弄懂。自考/成人高考有疑问、不知道如何选择主考院校及专业、不清楚自考/成考当地政策，点击底部咨询官网老师，免费领取复习资料： 本文目录 1、线性系统Linear System 2、Vectors、Matrices 2.1 向量Vectors 2.2 矩阵Matrix 2.3 矩阵与向量相乘 3、线性方程组有解么？ 3.1 线性方程组 3.2 线性组合Linear Combination 3.3 张成的空间Span 4、线性方程组有多少个解 4.1 线性相关和线性无关 4.2 秩Rank 5、求解线性方程组 5.1 初等行变换 5.2 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form 5.3 满秩 6、矩阵乘法 6.1 矩阵乘法的含义 6.2 矩阵乘法的性质 6.3 分块矩阵乘法 7、逆矩阵 7.1 什么是矩阵的逆 7.2 初等矩阵 7.3 什么矩阵是可逆的？ 7.4 求解一个矩阵的逆 8、行列式 8.1 什么是行列式？ 8.2 行列式的性质 8.3 行列式的计算 9、子空间 9.1 子空间 9.2 零空间 9.3 列空间和行空间 10、基Basis 10.1 什么是基Basis 10.2 基的特性 10.3 判断一个集合是否为基 10.4 三种空间的基和维度 11、坐标系 11.1 使用基表示向量 11.2 直角坐标系和其他坐标系的转换 11.3 坐标系与线性方程 12、特征值和特征向量 12.1 什么是特征值和特征向量 12.2 如何计算特征向量 12.3 检查一个标量是否为特征值 12.4 计算特征值 12.5 正定矩阵&半正定矩阵 13、对角化 13.1 可对角化 13.2 可对角化的性质 14、正交 14.1 范数和距离 14.2 点积和正交 14.3 正交补 14.4 正交投影 14.5 如何做正交投影 14.6 正交投影的应用-求解线性回归 14.7 正交基 14.8 正交矩阵 14.9 对称矩阵 15、奇异值分解 15.1 什么是奇异值分解？ 1、线性系统Linear System 一个线性系统满足两个条件：Persevering Multiplication和Persevering Addition。 Persevering Multiplication Persevering Addition 多元线性方程组是一个线性系统 。 2、Vectors、Matrices 2.1 向量Vectors 向量是一堆数的集合，分为列向量和行向量，本文中，向量默认是列向量，行向量用其转置表示。 向量与标量相乘 ，每一维都与该标量相乘： 向量相加 ，使用平行四边形法则： 零向量 ：所有维度的值都为0： 标准向量 ：一个维度是1，其余维度是0: 向量集 ：可以包含有限个或无限个向量： Rn : 所有的n维向量组成的向量集合 2.2 矩阵Matrix 矩阵是一组向量： 如果矩阵有m行和n列，我们就说矩阵的大小为m*n，如果m=n，我们称为方阵（square matrix）。 矩阵的元素下标表示，先行后列： 矩阵与标量相乘 ：每一个元素分别与该标量相乘。 矩阵相加 ：两个矩阵的形状必须一致，同位置的元素分别相加。 零矩阵 ：所有元素均为0的矩阵。 单位矩阵Identity matrix ：必须是方阵，对角线元素为1，其余为0，用In表示n*n的单位矩阵。 同形状的矩阵的一些运算法则 ： 矩阵的转置 ：沿左上到右下的对角线为轴进行翻转，将(i,j)位置的元素与(j,i)位置的元素互换得到的矩阵，转置的矩阵用AT表示。 矩阵转置的一些运算规则 ： 2.3 矩阵与向量相乘 矩阵和向量相乘，结果如下： 从行的角度来看矩阵和向量相乘 ：从行的角度看，矩阵A和向量x相乘，其结果是矩阵的A的每一行与向量x做点积(dot product,后面再介绍) 的结果。 从列的角度来看矩阵和向量相乘 ：从列的角度看，矩阵A和向量x相乘，相当于对矩阵A的列向量做了一次线性组合。 因此，无论从行角度还是列角度，矩阵A的列数要与向量x的维数相同。 矩阵和向量相乘的一些性质 ： 如果A和B都是m*n的矩阵，对所有的w，如果都有Aw=Bw，那么是否意味着A=B。结果是显然的。既然是所有的w，那么我们用标准向量就可以得到A和B的每一列都是相同的，因此A=B。 3、线性方程组有解么？ 3.1 线性方程组 对于一个线性方程组，我们可以写成矩阵和向量相乘的形式： 对于一个线性方程组，其解的情况可能是无解，有唯一解或者有无穷多个解。我们把所有的解的集合称为 解集(solution set) 如果线性方程组有解，我们就称其为 相容的(consistent) ，若无解，则称为 不相容的(inconsistent) 。 3.2 线性组合Linear Combination 线性组合是一个操作，将各个向量缩放之后，相加在一起，就得到了参与操作的向量之间的线性组合。 所以线性方程组的问题可以转变成：b是否可以表示成A中列向量的线性组合？ 举几个例子： 通过观察上面的例子，你可能会想，在二维平面中，是不是只要两个向量不平行，就一定有解？答案是肯定的，但有解时两个向量不一定平行，因为目标向量也可能跟它们平行。 3.3 张成的空间Span 对于一个向量集S，其向量的所有线性组合组成的向量集V，称为 Span(S) ，也被称为 S张成的空间 。 举几个二维空间中的例子吧，如果S中只有零向量，那么其张成的空间也只有零向量。 如果S中包含一个非零向量，那么其张成的空间是一条直线： 如果一个向量集包含两个不平行的非零向量，那么其可以张成整个二维平面： 所以一个线性方程组的问题又可以转换成两一个等价的问题：向量b是否在A的列向量所张成的空间中？ 4、线性方程组有多少个解 在上一节中，我们知道了如果b可以表示成A中列向量的线性组合或者b在A的列向量所张成的空间中，那么线性方程组有解，否则无解。但是，有解的情况下是唯一解还是多个解呢？我们还不知道。 4.1 线性相关和线性无关 给定一个向量集，如果其中一个向量可以表示成其余向量的线性组合，那么我们就说这组向量是 线性相关(Linear Dependent) 的。值得注意的是，零向量是任意向量的线性组合，因此只要包含零向量的向量集，都是线性相关的。 线性相关还有另一种定义，即可以找到一组非全零的标量，使得线性组合为零向量。 与之相对应，如果无法找到一组非全零的标量，使得线性组合得到零向量，那么这组向量就是 线性无关的(Linear Independent) ： 判断向量集是线性无关还是线性相关，其实就是看一个 齐次方程(Homogeneous Equations) 有无非零解： 由此，对于Ax=b，我们可以得到两个结论：如果A的列是线性相关的，且Ax=b有解，那么，它有无穷多个解；如果Ax=b有无穷多个解，那么A的列是线性相关的： 4.2 秩Rank 矩阵的秩(Rank) 定义为线性无关的列的最大数目： 矩阵的零化度(Nullity) 是矩阵的列数减去矩阵的秩： 也就是说，如果一个m*n的矩阵，其秩为n的话，它的列是线性无关的： 所以总结一下线性方程组的解的相关问题： 5、求解线性方程组 5.1 初等行变换 如果两个线性方程组的解集是相同的，我们就称它们是等价的(equivalent)。 对线性方程组做以下三种操作可以得到等价的方程组： 1）交换两行 2）对其中一行变为k倍 3）将一行的k倍加到另一行上 上面的三种操作我们也称为 初等行变换(elementary row operations) 这里我们介绍一下 增广矩阵(Augmented Matrix) ，即将A和b进行横向拼接： 因此，通过初等行变换，如果我们能够将增广矩阵转换为一个相对简单的形式，那么我们可以很快的得出最终的解。 5.2 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form 我们首先介绍行阶梯形式的矩阵，它满足两个条件，首先是非零行要在全零行的上面，其 先导元素(leading entries，每行的第一个非零元素) 按阶梯型排列： 在上述两个条件的基础上，如果先导元素所在的列都是标准向量的话，那么它就是 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form ： 下面的矩阵不是简化行阶梯形式： 而下面的矩阵是简化行阶梯形式： 根据简化行阶梯形式，我们很容易得到线性方程组的解的形式。 如果简化行阶梯形式是[I;b']的，那么线性方程组有唯一解： 下面的例子是有无穷多个解的情况，可以看到，第1、3、5列是包含先导元素的标准向量，其对应的变量也称为基本变量，而第2、4个变量被称为自由变量： 下面的例子是无解的情况，先导元素出现在了最后一列： 通过将增广矩阵化简为简约行阶梯形式，进而求解线性方程组解的方法，我们称之为 高斯消元法(Gaussian Elimination) 接下来，我们来看一下简约行阶梯型形式的一些性质： (1)化简为简约行阶梯型形式之后，列之间的关系不变 也就是说， 初等行变换不改变矩阵中列之间的关系 。加入A的简约行阶梯形式是R，那么Ax=0和Rx=0有相同的解集。 但是对于行来说，行阶梯形式改变了行之间的关系，比如原先两行是两倍的关系，其中一行变为二倍之后，二者就相等了，关系自然改变了。 (2)简约行阶梯形式改变了矩阵列所张成的空间 举个简单的例子就能理解，假设一个矩阵是[[1,2],[2,4]]，它所张成的空间是y=2x，化简后得到[[1,0],[0,0]]，此时所张成的空间却是整个平面。但是没有改变行所张成的空间。 (3)先导元素所在的列线性无关，其他列是这些列的线性组合 先导元素所在的列，在原矩阵中被称为 主列(pivot columns) ,这些列是线性无关的，其他列可以有主列的线性组合得到。 (4) 矩阵的秩等于主列的个数，等于简约行阶梯型里非0行的个数 根据这个性质，我们可以得到矩阵的秩的一个性质： Rank(A) <= Min(Number of columns,Number of rows) 因为秩等于主列的个数，所以秩一定小于等于列的个数，因为秩等于简约行阶梯型中非零行的个数，所以秩一定小于等于矩阵行的个数。 有这个性质我们还可以得出两个简单的结论： 对于m*n的矩阵A，如果m 线性代数知识点有线性方程组是线性代数的核心。 线性方程组由一个或多个包含相同变量x1，X2，。。。，xn。方程组的所有可能解的集合称为线性方程组的解集合。如果两个线性方程组具有相同的解集，则称之为等价解。 线性代数中所体现的几何概念与代数方法的关系、从具体概念中抽象出来的公理化方法、严密的逻辑推导和巧妙的归纳与综合，对于加强人们的数学训练和获得科学智能是非常有用的。 2.现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。维数为n的向量空间称为n维空间。二维和三维空间中最有用的结论可以推广到这些高维空间。虽然许多人不容易想象n维空间中的向量，但这样的向量（即n元组）非常有效地表示数据。作为n元组，向量是n个元素的“有序”列表。大多数人可以在这个框架中有效地总结和操作数据。 线性代数知识点归纳有线性方程组是线性代数的核心，线性方程组是一个或几个包含相同变量x1，x2，xn的线性方程组成的，方程组所有可能的解的集合称为线性方程组的解集。两个线性方程组若有相同的解集，则称为等价的。 线性方程组的解法思路是把方程组用一个更容易解的等价方程组（既有相同解集）代替、用方程序第一个含x1的项消去其他方程组x1的项，然后用第二个含x2的项消去其他含x2的项，以此类推，他有三个性质：倍加变换、对换变换、倍乘变换。 线性代数介绍 线性代数是关于向量空间和线性映射的一个数学分支，包括对线、面和子空间的研究，也涉及到所有向量空间的一般性质。 线性代数是纯数学和应用数学的核心，它的含义随着数学的发展而不断扩大，其理论和方法已经渗透到数学的许多分支，也成为理论物理和理论化学不可缺少的代数基础知识。 线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。 例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。 关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。 数学公式LaTeX公式 线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方程称为线性方程。变于关量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。 线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数 非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。 行列式非零[图片上传失败...(image-954f75-1560909100556)] 矩阵可逆[图片上传失败...(image-93246c-1560909100555)] 方阵满秩[图片上传失败...(image-53ff6-1560909100556)] 向量组满秩（向量个数等于维数）。 矩阵的行列式，determinate（简称det），是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量。是为求解线性方程组而引入的。 计算方式：对角线法则 计算方式：对角线法则 性质1 行列式与它的转置行列式相等 注：行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k，等于用数k乘以此行列式. 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则等于对应的两个行列式之和. 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 1）利用定义 2）利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值 定理中包含着三个结论： 1）方程组有解；（解的存在性） 2）解是唯一的；（解的唯一性） 3）解可以由公式(2)给出. 定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 . 定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. 齐次线性方程组的相关定理 定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于0，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解. 定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零. 1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于理论推导． 本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式. 行列式与矩阵加法的比较： 反对称矩阵(skew symmetric matrix) 分块矩阵不仅形式上进行转置，而且每一个子块也进行转置． 线性代数知识点归纳有线性方程组是线性代数的核心，线性方程组是一个或几个包含相同变量x1，x2，xn的线性方程组成的，方程组所有可能的解的集合称为线性方程组的解集。两个线性方程组若有相同的解集，则称为等价的。 线性方程组的解法思路是把方程组用一个更容易解的等价方程组（既有相同解集）代替、用方程序第一个含x1的项消去其他方程组x1的项，然后用第二个含x2的项消去其他含x2的项，以此类推，他有三个性质：倍加变换、对换变换、倍乘变换。 线性代数介绍 线性代数是关于向量空间和线性映射的一个数学分支，包括对线、面和子空间的研究，也涉及到所有向量空间的一般性质。 线性代数是纯数学和应用数学的核心，它的含义随着数学的发展而不断扩大，其理论和方法已经渗透到数学的许多分支，也成为理论物理和理论化学不可缺少的代数基础知识。 线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。 例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。 关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。 线性代数知识点有线性方程组是线性代数的核心。 线性方程组由一个或多个包含相同变量x1，X2，。。。，xn。方程组的所有可能解的集合称为线性方程组的解集合。如果两个线性方程组具有相同的解集，则称之为等价解。 线性代数中所体现的几何概念与代数方法的关系、从具体概念中抽象出来的公理化方法、严密的逻辑推导和巧妙的归纳与综合，对于加强人们的数学训练和获得科学智能是非常有用的。 2.现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。维数为n的向量空间称为n维空间。二维和三维空间中最有用的结论可以推广到这些高维空间。虽然许多人不容易想象n维空间中的向量，但这样的向量（即n元组）非常有效地表示数据。作为n元组，向量是n个元素的“有序”列表。大多数人可以在这个框架中有效地总结和操作数据。 课程主页： 一个线性系统满足两个条件：Persevering Multiplication和Persevering Addition。 Persevering Multiplication Persevering Addition 多元线性方程组是一个线性系统 。 向量是一堆数的集合，分为列向量和行向量，本文中，向量默认是列向量，行向量用其转置表示。 向量与标量相乘 ，每一维都与该标量相乘： 向量相加 ，使用平行四边形法则： 零向量 ：所有维度的值都为0： 标准向量 ：一个维度是1，其余维度是0: 向量集 ：可以包含有限个或无限个向量： R n : 所有的n维向量组成的向量集合 矩阵是一组向量： 如果矩阵有m行和n列，我们就说矩阵的大小为m*n，如果m=n，我们称为方阵（square matrix）。 矩阵的元素下标表示，先行后列： 矩阵与标量相乘 ：每一个元素分别与该标量相乘。 矩阵相加 ：两个矩阵的形状必须一致，同位置的元素分别相加。 零矩阵 ：所有元素均为0的矩阵。 单位矩阵Identity matrix ：必须是方阵，对角线元素为1，其余为0，用I n 表示n*n的单位矩阵。 同形状的矩阵的一些运算法则 ： 矩阵的转置 ：沿左上到右下的对角线为轴进行翻转，将(i,j)位置的元素与(j,i)位置的元素互换得到的矩阵，转置的矩阵用A T 表示。 矩阵转置的一些运算规则 ： 矩阵和向量相乘，结果如下： 从行的角度来看矩阵和向量相乘 ：从行的角度看，矩阵A和向量x相乘，其结果是矩阵的A的每一行与向量x做点积(dot product,后面再介绍) 的结果。 从列的角度来看矩阵和向量相乘 ：从列的角度看，矩阵A和向量x相乘，相当于对矩阵A的列向量做了一次线性组合。 因此，无论从行角度还是列角度，矩阵A的列数要与向量x的维数相同。 矩阵和向量相乘的一些性质 ： 如果A和B都是m*n的矩阵，对所有的w，如果都有Aw=Bw，那么是否意味着A=B。结果是显然的。既然是所有的w，那么我们用标准向量就可以得到A和B的每一列都是相同的，因此A=B。 对于一个线性方程组，我们可以写成矩阵和向量相乘的形式： 对于一个线性方程组，其解的情况可能是无解，有唯一解或者有无穷多个解。我们把所有的解的集合称为 解集(solution set) 如果线性方程组有解，我们就称其为 相容的(consistent) ，若无解，则称为 不相容的(inconsistent) 。 线性组合是一个操作，将各个向量缩放之后，相加在一起，就得到了参与操作的向量之间的线性组合。 所以线性方程组的问题可以转变成：b是否可以表示成A中列向量的线性组合？ 举几个例子： 通过观察上面的例子，你可能会想，在二维平面中，是不是只要两个向量不平行，就一定有解？答案是肯定的，但有解时两个向量不一定平行，因为目标向量也可能跟它们平行。 对于一个向量集S，其向量的所有线性组合组成的向量集V，称为 Span(S) ，也被称为 S张成的空间 。 举几个二维空间中的例子吧，如果S中只有零向量，那么其张成的空间也只有零向量。 如果S中包含一个非零向量，那么其张成的空间是一条直线： 如果一个向量集包含两个不平行的非零向量，那么其可以张成整个二维平面： 所以一个线性方程组的问题又可以转换成两一个等价的问题：向量b是否在A的列向量所张成的空间中？ 在上一节中，我们知道了如果b可以表示成A中列向量的线性组合或者b在A的列向量所张成的空间中，那么线性方程组有解，否则无解。但是，有解的情况下是唯一解还是多个解呢？我们还不知道。 给定一个向量集，如果其中一个向量可以表示成其余向量的线性组合，那么我们就说这组向量是 线性相关(Linear Dependent) 的。值得注意的是，零向量是任意向量的线性组合，因此只要包含零向量的向量集，都是线性相关的。 线性相关还有另一种定义，即可以找到一组非全零的标量，使得线性组合为零向量。 与之相对应，如果无法找到一组非全零的标量，使得线性组合得到零向量，那么这组向量就是 线性无关的(Linear Independent) ： 判断向量集是线性无关还是线性相关，其实就是看一个 齐次方程(Homogeneous Equations) 有无非零解： 由此，对于Ax=b，我们可以得到两个结论：如果A的列是线性相关的，且Ax=b有解，那么，它有无穷多个解；如果Ax=b有无穷多个解，那么A的列是线性相关的： 矩阵的秩(Rank) 定义为线性无关的列的最大数目： 矩阵的零化度(Nullity) 是矩阵的列数减去矩阵的秩： 也就是说，如果一个m*n的矩阵，其秩为n的话，它的列是线性无关的： 所以总结一下线性方程组的解的相关问题： 如果两个线性方程组的解集是相同的，我们就称它们是等价的(equivalent)。 对线性方程组做以下三种操作可以得到等价的方程组： 1）交换两行 2）对其中一行变为k倍 3）将一行的k倍加到另一行上 上面的三种操作我们也称为 初等行变换(elementary row operations) 这里我们介绍一下 增广矩阵(Augmented Matrix) ，即将A和b进行横向拼接： 因此，通过初等行变换，如果我们能够将增广矩阵转换为一个相对简单的形式，那么我们可以很快的得出最终的解。 我们首先介绍行阶梯形式的矩阵，它满足两个条件，首先是非零行要在全零行的上面，其 先导元素(leading entries，每行的第一个非零元素) 按阶梯型排列： 在上述两个条件的基础上，如果先导元素所在的列都是标准向量的话，那么它就是 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form ： 下面的矩阵不是简化行阶梯形式： 而下面的矩阵是简化行阶梯形式： 根据简化行阶梯形式，我们很容易得到线性方程组的解的形式。 如果简化行阶梯形式是[I;b']的，那么线性方程组有唯一解： 下面的例子是有无穷多个解的情况，可以看到，第1、3、5列是包含先导元素的标准向量，其对应的变量也称为基本变量，而第2、4个变量被称为自由变量： 下面的例子是无解的情况，先导元素出现在了最后一列： 通过将增广矩阵化简为简约行阶梯形式，进而求解线性方程组解的方法，我们称之为 高斯消元法(Gaussian Elimination) 接下来，我们来看一下简约行阶梯型形式的一些性质： (1)化简为简约行阶梯型形式之后，列之间的关系不变 也就是说， 初等行变换不改变矩阵中列之间的关系 。加入A的简约行阶梯形式是R，那么Ax=0和Rx=0有相同的解集。 但是对于行来说，行阶梯形式改变了行之间的关系，比如原先两行是两倍的关系，其中一行变为二倍之后，二者就相等了，关系自然改变了。 (2)简约行阶梯形式改变了矩阵列所张成的空间 举个简单的例子就能理解，假设一个矩阵是[[1,2],[2,4]]，它所张成的空间是y=2x，化简后得到[[1,0],[0,0]]，此时所张成的空间却是整个平面。但是没有改变行所张成的空间。 (3)先导元素所在的列线性无关，其他列是这些列的线性组合 先导元素所在的列，在原矩阵中被称为 主列(pivot columns) ,这些列是线性无关的，其他列可以有主列的线性组合得到。 (4) 矩阵的秩等于主列的个数，等于简约行阶梯型里非0行的个数 根据这个性质，我们可以得到矩阵的秩的一个性质： Rank(A) <= Min(Number of columns,Number of rows) 因为秩等于主列的个数，所以秩一定小于等于列的个数，因为秩等于简约行阶梯型中非零行的个数，所以秩一定小于等于矩阵行的个数。 有这个性质我们还可以得出两个简单的结论： 对于m*n的矩阵A，如果m 所以我们再来回顾一下矩阵秩的判定，我们已经有多种得到矩阵秩的方式： (5)当m*n的矩阵A的秩为m是，方程组Ax=b恒有解 对于增广矩阵来说，如果变为简约行阶梯型后先导元素出现在了最后一列，则无解。 什么情况下Ax=b恒有解呢？b是一个m*1的向量，也就是说矩阵A的列向量可以张成整个R m 空间，即A的秩为行数m，也就是A变成简约行阶梯型之后没有全0行。 (6)m个线性无关的m维向量可以张成整个R m 空间，R m 空间中多于m个向量的向量集一定线性相关 如果m*n的矩阵的秩为n或者m，那么说该矩阵为 满秩(Full Rank) 。 给定两个矩阵A和B，其相乘结果中的元素(i,j)是矩阵A的第i行和矩阵B的第j列的内积，因此，矩阵A的列数一定要个矩阵B的行数相等。 矩阵乘法可以看作是两个线性方程的组合： (1) AB <> BA (2)(AB) T = B T A T (3)其他性质 (4)对角矩阵相乘 分块矩阵相乘和普通矩阵相乘其实是相同的： 如果两个方阵A和B的乘积是单位矩阵，AB=I，那么A和B就是互为逆矩阵。 一个矩阵是 可逆的(invertible) 的，必须满足两个条件，首先要是方阵，其次是可以找到另一个方阵B，使得AB=I。 并不是所有的方阵都是可逆的。同时，一个矩阵的逆矩阵是唯一的 ： 逆矩阵可以用来求解一个线性方程组，但这种方法要求A是一个方阵，同时在计算上并不是十分有效率的： 我们之前介绍了三种初等行变换，其实初等行变换都可以用矩阵相乘表示，这种左乘的矩阵被称作 初等矩阵(Elementary Matrix) 。即单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。 既然左乘一个初等矩阵相当于对单位矩阵做一次初等行变换，那么只要再左乘一个相反操作的初等矩阵，就可以再次变回单位矩阵，所以初等矩阵的逆很容易得到： 摘 要： 《线性代数》是高等院校一门的重要基础课程，具有较强的逻辑性、抽象性。本文就在线性代数的教学中如何与中学代数紧密衔接、如何确定线性代数的主线及如何阐明线性代数的思想三个问题，给出了一些建议。 关键词： 线性代数 中学代数 主线 思想方法 线性代数是现代数学的一个重要的分支，它主要研究有限维线性空间中的线性关系和数组间的运算关系。线性代数为现代数学、现代物理学、现代化学、计算机科学、现代通信等提供了重要的结论和研究方法。在当今信息时代，线性代数有了越来越广泛的应用，它已成为工科类本科的主干基础课之一。如何教好这门课呢？笔者根据自己在讲授线性代数课的体会，认为在教学中应该需要解决好以下三个关键问题。 1.如何与中学代数紧密衔接 中学代数主要是常量代数，研究的多是常量的定量计算，其教材难度较小，且表述较具体形象，容易理解和接受。线性代数与中学代数相比，具有极强的逻辑性和抽象性。如果不能很好地解决线性代数与中学代数的衔接问题，势必会造成大一学生的诸多不适应。针对这个问题，我们应从中学代数中最基本的解二元一次方程组的消元法引出矩阵及矩阵初等变换的概念，这些概念和方法既与中学代数紧密相连，又贯穿于线性代数这门课程的始终，并让学生明白解线性方程组是线性代数解决的主要问题之一。这样可以与中学代数紧密衔接，让学生感觉到线性代数与中学代数的紧密联系，并且增强学生学习线性代数的动力和兴趣。 2.如何确定线性代数的主线 线性代数课程中表面看起来概念多、定理多、符号多、运算规律多、计算麻烦，且前后内容相互纵横交错，对于初学者来说会觉得有些难度。因此如何从纵横交错的内容中确定出主线，找出前后知识的紧密联系，是在教学过程中必须解决的重要问题之一。（1）第一条主线——线性方程组。线性方程组是产生线性代数这门课程的原动力，对它的研究促成了行列式和矩阵理论的发展。行列式是线性代数一个重要的概念，它广泛应用于数学、工程技术和经济学等领域。中学代数已经讲过二元一次、三元一次方程组（方程的个数和未知量的个数相等）的消元解法，而对于方程的个数和未知量的个数相等的一般线性方程组，应该怎样求解呢？为此引入行列式的概念，进而给出求此类线性方程组的一个重要法则——克拉默法则。因此行列式出现于线性方程组的求解。而克拉默法则对于方程的个数和未知量的个数不相等的线性方程组就不适用了，这时我们就需要引入矩阵这个工具。为了给出一般线性方程组的求解方法，引入矩阵的秩的概念和矩阵的初等变换，通过对增广矩阵施行初等行变换得到方程组的通解，并利用矩阵的秩的定义给出线性方程组有解的充要条件。对任何一个线性方程组，在有解的情况下，我们都能利用初等变换求出它的全部解。那么在线性方程组有无穷多个解的情况下，解与解之间的关系又如何呢？能不能利用有限个解去表示这无穷多个解呢？而要解决这两个问题，我们又必须讨论向量组的线性相关性的有关理论。向量组的线性相关性和线性无关性不过是把线性方程组有无非零解换成另一种说法而已。因为向量组的线性相关等价于齐次线性方程组有非零解。一个向量可由另外一个向量组线性表示的充要条件是由这些向量构成的线性方程组有解。为了利用线性方程组的有限个解去表示无穷多个解，我们需要掌握向量组的极大无关组这个概念，而用极大大无关组表示其余向量本质上就是同时解若干个非齐次方程组。最终利用向量组的线性相关性的理论研究线性方程组的解的结构，从而完善线性方程组的理论。由此可见，线性方程组这条主线将行列式、矩阵和向量组合理地联系起来。（2）第二条主线——实二次型化成标准形。在解析几何中，为了便于研究二次曲线的几何性质，可以做适当的坐标变换，将方程化为只含有平方项的形式，通过这种形式我们可以很方便地识别曲线的类型，研究曲线的性质。而在科学技术和经济管理领域中也会遇到这样类似的问题：要把二次型通过变量的线性变换化简为只含有平方项的形式，即将二次型化为标准形。而为了完成这一工作，我们就需要引入矩阵的特征值和特征向量的概念，进而研究矩阵对角化的条件，重点讨论实对称矩阵可对角化，为将二次型化为标准形做好准备。有了前面的知识准备，我们可以给出三种二次型化为标准形的方法，重点讨论用正交变换化二次型为标准形的方法。因此，线性代数的后两章是以实二次型化成标准形为主线展开讨论，这样就将矩阵的特征值和特征向量、矩阵可对角化及二次型理论有机地联系起来。由上可见，通过解线性方程组和实二次型化成标准形这两条线，可将线性代数课程的主要知识点合理地组织起来。学生抓住这两条主线，能从整体上更清楚地把握线性代数课程的思想和方法，让老师和学生在教与学的过程中做到有的放矢。 3.如何阐明线性代数的思想 线性代数具有极强的逻辑性和抽象性，而这门课程主要面对的是应用型本科学生，那么如何做到既能阐明线性代数的主要思想，又能让工科学生容易接受，这是一个值得探究的问题。笔者认为在教学过程中应该通过大量的例题来阐明线性代数的思想。例如我们在讲解行列式的概念时，用平行四边形的面积和平行六面体的体积的例子来引出二阶和三阶行列式的概念，这样可使学生领会到行列式的理论与几何理论的关系，把行列式用形象的几何图形来描述，让学生了解行列式定义的由来和相关的背景。这样就把很抽象的行列式的概念变得具体化，让学生能较直观地理解概念，并能灵活应用。又如通过求向量组的秩与极大无关组，并将该向量组中其余向量用此极大无关组线性表出这样一个例子可以体现出线性代数中的化归思想。我们可将该问题化归为线性方程组的求解问题，而用矩阵的行初等变换求解线性方程组，因为它易于理解且操作性强，所以只要弄清楚线性方程组的求解问题，向量组极大无关组的问题也就迎刃而解了。我们在讲行列式的定义时，首先会讲2阶的行列式是2项的代数和，每项为行列式中不同行不同列的2个元之积，且将每项元素按行下标自然顺序排列，列下标的逆序数决定该项的正负号；3阶的行列式是6项的代数和，每项为行列式中不同行不同列的3个元之积，且将每项元素按行下标自然顺序排列，列下标的逆序数决定该项的正负号。同样，可类比思考4阶行列式的定义，进而让同学自己给出阶行列式的定义。由直角坐标系下几何向量的长度、夹角、内积、距离公式类比推出规范正交基下维欧氏空间中向量的长度、夹角、内积、距离公式。我们在教学过程中，通过大量例题来阐明线性代数的抽象化思想、化归思想、类比思想等思想方法，既有利于培养学生的探究和创新能力，又能增强应用型本科生学习线性代数的兴趣。结合线性代数中的这些思维方法，学生可在此启发下对高等数学、概率论及数理统计的某些内容进行相同的分析，产生浓厚的学习兴趣。 在线性代数的教学过程中，如果我们能解决好以上三个关键问题，相信教学效果会有明显的改善，而学生也会学得更加轻松快乐。 参考文献： ［1］同济大学数学教研室.线性代数［M］.北京：高等教育出版社，1999. ［2］唐明，冯鸣，缪永伟，周明华.线性代数一本通［M］.杭州：浙江大学出版社，2007. ［3］毕成良，李晓波.《线性代数》教学与观念更新［J］.兵团教育学院学报，2003，13（4）：31-33. ［4］张姗姗.线性代数教学改革的思考［J］.考试周刊，2011，（30）.自考线性代数知识点总结
线性代数自考知识点汇总总结
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