小学公务员考试数学题

百分数与配比问题百分数是分母为100的分数，表示某些数量关系非常方便.特别是处理一些有比例关系的问题，在衡量、比较时有很多优点.不仅在数学、物理、化学等自然科学方面，而且在工程技术、社会科学方面都有着非常广泛的应用. 小学高年级的同学都知道百分数，但不一定能算得很好，用得很活.因此我们专门编写一讲，通过许多例题和习题，帮助同学们学习百分数. 第一节讲的是“卖买”，实质上是讲（1+ 百分数）与（1-百分数）的一些计算.第二节介绍各种各样常见的百分数.第三节讲的是对小学同学说来较为困难的配比问题.不论哪一节，从计算技巧来说，都是训练分数、比例的计算本领.一、商品的出售 商店出售商品，总是期望获得利润.例如某商品买入价（成本）是50元，以70元卖出，就获得利润70-50＝20（元）.通常，利润也可以用百分数来说，20÷50＝＝40％，我们也可以说获得 40％的利润.因此 利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100％. 卖价=成本×（1+利润的百分数）. 成本=卖价÷（1+利润的百分数）. 商品的定价按照期望的利润来确定. 定价=成本×（1+期望利润的百分数）. 定价高了，商品可能卖不掉，只能降低利润（甚至亏本），减价出售.减价有时也按定价的百分数来算，这就是打折扣.减价 25％，就是按定价的（1-25％）＝ 75％出售，通常就称为75折.因此 卖价=定价×折扣的百分数. 例1 某商品按定价的 80％（八折或 80折）出售，仍能获得20％的利润，定价时期望的利润百分数是多少？ 解：设定价是“1”，卖价是定价的 80％，就是.因为获得20％ 定价的期望利润的百分数是 答：期望利润的百分数是50％. 例2 某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价.当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？ 解：设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是1×（1+ 30％）＝.其中 80％的卖价是 ×80％， 20％的卖价是 ÷2×20％. 因此全部卖价是 ×80％ ＋ ÷ 2×20％＝ . 实际获得利润的百分数是 －1＝ ＝17％. 答：这批笔记本商店实际获得利润是 17％. 例3 有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价便宜 10％.甲店按 20％的利润来定价，乙店按 15％的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜 元.问甲店的进货价是多少元？ 解：设乙店的进货价是“1”，甲店的进货价就是. 乙店的定价是 1×（1＋ 15％），甲店的定价就是 ×（1＋20％）. 因此乙店的进货价是 ÷（ ×）=160（元）. 甲店的进货价是 160× 144（元）. 答：甲店的进货价是144元. 设乙店进货价是1，比设甲店进货价是1，计算要方便些. 例4 开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加 10％，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了40％，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少？ 解：设去年的利润是“1”. 利润下降了40％，转变成去年成本的 10％，因此去年成本是 40％÷10％＝ 4. 在售价中，去年成本占 因此今年占 80％×（1+10％）＝ 88％. 答：今年书的成本在售价中占88％. 因为是利润的变化，所以设去年利润是1，便于衡量，使计算较简捷. 例5 一批商品，按期望获得 50％的利润来定价.结果只销掉 70％的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82％，问：打了多少折扣？ 解：设商品的成本是“1”.原来希望获得利润. 现在出售 70％商品已获得利润 ×70％＝ . 剩下的 30％商品将要获得利润 ×82％＝. 因此这剩下30％商品的售价是 1×30％＋ ＝ . 原来定价是 1×30％×（1+50％）＝. 因此所打的折扣百分数是 ÷＝80％. 答：剩下商品打8折出售. 从例1至例5，解题开始都设“1”，这是基本技巧.设什么是“1”，很有讲究.希望读者从中能有所体会. 例6 某商品按定价出售，每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个，所能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？ 解：按定价每个可以获得利润45元，现每个减价35元出售12个，共可获得利润 （45-35）×12＝120（元）. 出售8个也能获得同样利润，每个要获得利润 120÷8＝15（元）. 不打折扣每个可以获得利润45元，打85折每个可以获得利润15元，因此每个商品的定价是 （45-15）÷（1-85％）＝200（元）. 答：每个商品的定价是200元. 例7 张先生向商店订购某一商品，共订购60件，每件定价100元. 张先生对商店经理说：“如果你肯减价，每件商品每减价1元，我就多订购3件.”商店经理算了一下，如果差价 4％，由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少？ 解：减价4％，按照定价来说，每件商品售价下降了100×4％＝4（元）.因此张先生要多订购 4×3＝12（件）. 由于60件每件减价 4元，就少获得利润 4×60＝ 240（元）. 这要由多订购的12件所获得的利润来弥补，因此多订购的12件，每件要获得利润 240÷12＝20（元）. 这种商品每件成本是 100-4-20＝76 （元）. 答：这种商品每件成本76元.二、各种各样的问题 百分数有着十分广泛的应用.这一节我们列举出有关百分数的各种各样的问题. 例8 小明训练 3000米赛跑，如果速度提高 5％，那么时间缩短百分之几？（百分数保留一位小数.） 解：设原来的速度是“1”. 时间缩短的百分数是 也就是 答：时间缩短了％. 从后一算式可以看出，无论是多少米赛跑，速度提高5％，时间就缩短了％.换一句话说，考虑这一问题，与距离无关. 例9 采了10千克蘑菇，它们的含水量为99％，稍经晾晒后，含水量下降到98％.晾晒后的蘑菇重多少千克？ 解：晾晒前后蘑菇里的干物质（除了水分以外的其他成分）的重量是不变的.干物质的重量是 10×（1- 99％）= （千克）. 晾晒后，干物质将占总重量的（1-98％）.此时蘑菇重 ÷（1-98％）＝5（千克）. 答：晾晒后蘑菇重5千克. 这一例题的答案是否使你感到意外？ 下一例题可以说是例9的补充. 例10 有盐水若干升，加入一定量水后，盐水浓度降到3％，又加入同样多的水后，盐水浓度又降到2％，再加入同样多的水，此时盐水浓度是多少呢？又问未加水时盐水浓度是多少？ 解：关键是先算出每次加多少水. 浓度为 3％，也就是盐 3份，水 97份，共100份.浓度下降为2％，原来3份，就成为 2％，加水后总共是 3÷2％=150（份）. 因此加入的水是 150-100＝50（份）. 第三次加水后，浓度是 未加入水时的浓度是 答：三次加水后浓度是％，未加水时浓度是6％. 例11 把一个正方形的一边减少 20％，另一边增加2米，得到一个长方形.它与原来的正方形面积相等.问正方形的面积是多少？ 解：设正方形的边长是“1”.因为长方形与原来的正方形面积相等，一边减少了 20％，另一边将增加 所以正方形的边长是 2÷25％＝8（米）. 正方形的面积是 8×8＝ 64（平方米）. 答：正方形面积是64平方米. 例12 有一堆糖果，其中奶糖占 45％，再放入16块水果糖后，奶糖就只占 25％.问这堆糖中奶糖有多少块？ 解：奶糖占25％，其他糖果就是奶糖的 （100-25％）÷25％＝3（倍）. 原来其他糖果只有 1-45％＝55％. 放入16块水果糖后是 45％×3＝135％. 因此奶糖的块数是 16÷（135％- 55％）× 45％＝ 9（块）. 答：这堆糖中，奶糖有9块. 例13 有两包糖果，第一包的粒数与第二包粒数之比是2∶5.在第一包中奶糖占30％，在第二包中其他糖占42％，如果把两包糖合在一起，奶糖所占的百分数是多少？ 解：设第一包为2份，第二包为5份. 第一包中奶糖是 2×30％＝（份）. 第二包中奶糖是 5×（1-42％）＝ （份）. 合起来后，奶糖占 （＋）÷（2＋ 5）＝ 50％. 答：合在一起，奶糖占50％. 这是一个典型问题，与第五讲第二节中求平均数，做法是一致的. 例14 早上水缸注满了水，白天用去了其中的 20％，傍晚又用去27升，晚上用去剩下水的10％，最后剩下的水是半水缸多1升.问早上注入多少升水？ 解：白天和傍晚用去水后剩下 1-20％＝80％少 27（升） 晚上用去水是 80％×10％＝8％少27×10％＝ （升）. 白天、傍晚、晚上总共用去水 20％＋8％再加（）升， 它应该是50％少 1升. 因此50％-（20％＋8％）是（27- ）＋ 1升. 早上水缸的水是 （＋1）÷（50％- 20％- 8％）＝ 115（升）. 答：早上注入水缸中的水是115升.三、浓度和配比 一碗糖水中有多少糖，这就要用百分比浓度来衡量.放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水，这就是配比问题.在考虑浓度和配比时，百分数的计算扮演了重要的角色，并产生形形色色的计算问题，这是小学数学应用题中的一个重要内容. 从一些基本问题开始讨论. 例15 基本问题一 （1）浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？ （2）浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖？ 解：（1）浓度10％，含糖 80×10％＝ 8（克），有水80-8＝72（克）. 如果要变成浓度为8％，含糖8克，糖和水的总重量是8÷8％＝100（克），其中有水 100-8＝92（克）. 还要加入水 92- 72＝ 20（克）. （2）浓度为20％，含糖40×20％＝8（克），有水40- 8＝ 32（克）. 如果要变成浓度为40％，32克水中，要加糖x克，就有 x∶32＝40％∶（1-40％），例16 基本问题二 20％的食盐水与5％的食盐水混合，要配成15％的食盐水900克.问：20％与5％食盐水各需要多少克？ 解： 20％比15％多（20％-15％）， 5％比15％少（15％-5％），多的含盐量 （20％-15％）×20％所需数量 要恰好能弥补少的含盐量 （15％-5％）×5％所需数量. 也就是 画出示意图： 相差的百分数之比与所需数量之比恰好是反比例关系.答：需要浓度 20％的 600克，浓度 5％的 300克. 这一例题的方法极为重要，在解许多配比问题时都要用到.现在用这一方法来解几个配比的问题. 例17 某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价5元，蓝笔定价9元.由于买的数量较多，商店就给打折扣.红笔按定价 85％出售，蓝笔按定价 80％出售.结果他付的钱就少了18％.已知他买了蓝笔 30支，问红笔买了几支？ 解：相当于把两种折扣的百分数配比，成为1-18％＝82％. （85%-82％）∶（82%-80％）＝3∶2. 按照基本问题二，他买红、蓝两种笔的钱数之比是2∶3. 设买红笔是x支，可列出比例式 5x∶9×30＝2∶3 答：红笔买了 36支. 配比问题不光是溶液的浓度才有的，有百分数和比，都可能存在配比.要提请注意，例17中是钱数配比，而不是两种笔的支数配比，千万不要搞错. 例18 甲种酒精纯酒精含量为72％，乙种酒精纯酒精含量为58％，混合后纯酒精含量为 62％.如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为％.问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？ 解：利用例16的方法，原来混合时甲、乙数量之比是 后一次混合，甲、乙数量之比是这与上一讲例 14是同一问题.都加15，比例变了，但两数之差却没有变. 5与2相差3，5与3相差2.前者3份与后者2份是相等的.把2∶5中前、后两项都乘2，3∶5中前、后两项都乘3，就把比的份额统一了，即 现在两个比的前项之差与后项之差都是是5份，每份是3.原来这 答：第一次混合时，取甲酒精12升，乙酒精30升. 例19 甲容器中有8％的食盐水300克，乙容器中有％的食盐水 120克.往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样.问倒入多少克水？ 解：要使两个容器中食盐水浓度一样，两容器中食盐水重量之比，要与所含的食盐重量之比一样. 甲中含盐量：乙中含盐量 = 300×8％∶120×％ = 8∶5. 现在要使 （300克+倒入水）∶（120克+倒入水）＝8∶5. 把“300克+ 倒入水”算作8份，“120克+ 倒入水”算作5份，每份是 （300-120）÷（8-5）= 60（克）. 倒入水量是 60×8-300＝ 180（克）. 答：每一容器中倒入 180克水. 例20 甲容器有浓度为2％的盐水 180克，乙容器中有浓度为 9％的盐水若干克，从乙取出 240克盐水倒入甲.再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问： （1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？ （2）再往乙容器倒入水多少克？ 解：（1）现在甲容器中盐水含盐量是 180×2％＋ 240×9％＝ （克）. 浓度是 ÷（180 ＋ 240）× 100％= 6％. （2）“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”，也就是两个容器中含盐量一样多.在乙中也含有克盐.因为后来倒入的是水，所以盐只在原有的盐水中.在倒出盐水 240克后，乙的浓度仍是 9％，要含有 克盐，乙容器还剩下盐水÷9％＝280（克）， 还要倒入水420-280＝140（克）. 答：（1）甲容器中盐水浓度是6％； （2）乙容器再要倒入140克水. 例21 甲、乙两种含金样品熔成合金.如甲的重量是乙的一半，得到含 乙两种含金样品中含金的百分数. 解：因为甲重量增加，合金中含金百分数下降，所以甲比乙含金少. 用例17方法，画出如下示意图. 因为甲与乙的数量之比是1∶2，所以 （68％-甲百分数）∶（乙百分数-68％） ＝2∶1 ＝ 6∶3.注意：6+3＝2＋7＝9. 那么每段是 因此乙的含金百分数是 甲的含金百分数是 答：甲含金 60％，乙含金 72％. 用这种方法解题，一定要先弄清楚，甲和乙分别在示意图线段上哪一端，也就是甲和乙哪个含金百分数大.