微积分考试题目及答案

把sin(π y^2)看作sin(f(y))，求导得 cos(f(y))*f'(y).f'(y)就是2π y

因为：xy-sin(π y^2)=0所以：y+x(dy/dx)-cos(πy^2)2πy(dy/dx)=0即：y+x(dy/dx)-cos(πy^2)2πy(dy/dx)=0dy/dx=y/[2πycos(πy^2)+x]楼主框起来的dy/dx是这么来的：设：Z=πy^2，则：sin(πy^2)=sinZ对其求导，有：d(sinZ)/dx=cosZ(dZ/dx)……(1)因为：Z=πy^2，所以：dZ/dx=d(πy^2)/dx=2πy(dy/dx)，将其代入(1)式：有：d(sinZ)/dx=cosZ[2πy(dy/dx)]再将Z=πy^2代入上式，有：d(sinπy^2)/dx=cos(πy^2)[2πy(dy/dx)]即：d(sinπy^2)/dx=2πycos(πy^2)(dy/dx)

<>应该是不需要的。因为y是x的函数，所以对等式左边第二项求导的时候，先将π y^2看作整体求导，求出一个cos来，然后再对y求导，求出一个2π y来，最后再对x求导，求出一个y'来。把这三项乘在一起就是复合函数的导数。

见图片，每题过程都很详细。点击可以看大图。还有什么不明白的地方可以给我留言。

选修2-2 微积分基本定理 一、选择题1．下列积分正确的是() [答案]A [答案]A[解析]2－2x2＋1x4dx＝2－2x2dx＋2－21x4dx＝13x32－2＋－13x－32－2＝13(x3－x－3)2－2＝138－18－13－8＋18＝214.故应选－1|x|dx等于()－1xdx －－1(－x)dx＋01xdx －1xdx＋01(－x)dx[答案]C[解析]∵|x|＝x(x≥0)－x(x<0)∴1－1|x|dx＝0－1|x|dx＋01|x|dx＝0－1(－x)dx＋01xdx，故应选．设f(x)＝x2(0≤x<1)2－x(1≤x≤2)，则02f(x)dx等于() D．不存在[答案]C[解析]02f(x)dx＝01x2dx＋12(2－x)dx取F1(x)＝13x3，F2(x)＝2x－12x2，则F′1(x)＝x2，F′2(x)＝2－x∴02f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)＝13－0＋2×2－12×22－2×1－12×12＝56.故应选′(3x)dx＝()A．f(b)－f(a) B．f(3b)－f(3a)[f(3b)－f(3a)] D．3[f(3b)－f(3a)][答案]C[解析]∵13f(3x)′＝f′(3x)∴取F(x)＝13f(3x)，则abf′(3x)dx＝F(b)－F(a)＝13[f(3b)－f(3a)]．故应选|x2－4|dx＝() [答案]C[解析]03|x2－4|dx＝02(4－x2)dx＋23(x2－4)dx＝4x－13x320＋13x3－4x32＝233. A．－32 B．－ [答案]D[解析]∵1－2sin2θ2＝cosθ 8．函数F(x)＝0xcostdt的导数是()A．cosx B．sinxC．－cosx D．－sinx[答案]A[解析]F(x)＝0xcostdt＝sintx0＝sinx－sin0＝sinx.所以F′(x)＝cosx，故应选．若0k(2x－3x2)dx＝0，则k＝()A．0 B．1C．0或1 D．以上都不对[答案]C[解析]0k(2x－3x2)dx＝(x2－x3)k0＝k2－k3＝0，∴k＝0或．函数F(x)＝0xt(t－4)dt在[－1,5]上()A．有最大值0，无最小值B．有最大值0和最小值－323C．有最小值－323，无最大值D．既无最大值也无最小值[答案]B[解析]F(x)＝0x(t2－4t)dt＝13t3－2t2x0＝13x3－2x2(－1≤x≤5)．F′(x)＝x2－4x，由F′(x)＝0得x＝0或x＝4，列表如下：x (－1,0) 0 (0,4) 4 (4,5)F′(x) ＋ 0 － 0 ＋F(x)  极大值 极小值 可见极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－323.又F(－1)＝－73，F(5)＝－253∴最大值为0，最小值为－323.二、填空题11．计算定积分：①1－1x2dx＝________②233x－2x2dx＝________③02|x2－1|dx＝________④0－π2|sinx|dx＝________[答案]23；436；2；1[解析]①1－1x2dx＝13x31－1＝23.②233x－2x2dx＝32x2＋2x32＝436.③02|x2－1|dx＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝x－13x310＋13x3－x21＝2.[答案]1＋π2 13．(2010•陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．[答案]13[解析]长方形的面积为S1＝3，S阴＝013x2dx＝x310＝1，则P＝S1S阴＝．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若1－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.[答案]－1或13[解析]由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1，∴1－1f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4，∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2.即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或13.三、解答题15．计算下列定积分：(1)052xdx；(2)01(x2－2x)dx；(3)02(4－2x)(4－x2)dx；(4)12x2＋2x－3xdx.[解析](1)052xdx＝x250＝25－0＝25.(2)01(x2－2x)dx＝01x2dx－012xdx＝13x310－x210＝13－1＝－23.(3)02(4－2x)(4－x2)dx＝02(16－8x－4x2＋2x3)dx＝16x－4x2－43x3＋12x420＝32－16－323＋8＝403.(4)12x2＋2x－3xdx＝12x＋2－3xdx＝12x2＋2x－3lnx21＝72－．计算下列定积分： [解析](1)取F(x)＝12sin2x，则F′(x)＝cos2x ＝121－32＝14(2－3)．(2)取F(x)＝x22＋lnx＋2x，则F′(x)＝x＋1x＋2.∴23x＋1x2dx＝23x＋1x＋2dx＝F(3)－F(2)＝92＋ln3＋6－12×4＋ln2＋4＝92＋ln32.(3)取F(x)＝32x2－cosx，则F′(x)＝3x＋sinx 17．计算下列定积分：(1)0－4|x＋2|dx；(2)已知f(x)＝ ，求3－1f(x)dx的值．[解析](1)∵f(x)＝|x＋2|＝ ∴0－4|x＋2|dx＝－－4－2(x＋2)dx＋0－2(x＋2)dx＝－12x2＋2x－2－4＋12x2＋2x0－2＝2＋2＝4.(2)∵f(x)＝ ∴3－1f(x)dx＝0－1f(x)dx＋01f(x)dx＋12f(x)dx＋23f(x)dx＝01(1－x)dx＋12(x－1)dx＝x－x2210＋x22－x21＝12＋12＝．(1)已知f(a)＝01(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值；(2)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，01f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．[解析](1)取F(x)＝23ax3－12a2x2则F′(x)＝2ax2－a2x∴f(a)＝01(2ax2－a2x)dx＝F(1)－F(0)＝23a－12a2＝－12a－232＋29∴当a＝23时，f(a)有最大值29.(2)∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2①又∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0②而01f(x)dx＝01(ax2＋bx＋c)dx取F(x)＝13ax3＋12bx2＋cx则F′(x)＝ax2＋bx＋c∴01f(x)dx＝F(1)－F(0)＝13a＋12b＋c＝－2③解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.

1、D。设F(x)为f(x)的原函数，则原式＝d(F(x)-F(a))/dx=dF(x)/dx=f(x)。2、A。D是一个以(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)为顶点的菱形（也是正方形），其面积为2。而积分求的就是这个面积。3、C。由题中的条件，f(a+h)-f(a-h)=2h*f'(a)，代入得2f'(2)=2*1=2。

1.∫（xln(1+x^2))/(1+x^2) dx=1/2*∫（ln(1+x^2))/(1+x^2) d(1+X^2)=1/2*∫（ln(1+x^2)) d(ln(1+x^2))=1/4* (ln(1+x^2))^2+C