自考线性代数知识点总结ppt

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一个线性系统满足两个条件：Persevering Multiplication和Persevering Addition。

Persevering Multiplication

Persevering Addition

多元线性方程组是一个线性系统 。

向量是一堆数的集合，分为列向量和行向量，本文中，向量默认是列向量，行向量用其转置表示。

向量与标量相乘 ，每一维都与该标量相乘：

向量相加 ，使用平行四边形法则：

零向量 ：所有维度的值都为0：

标准向量 ：一个维度是1，其余维度是0:

向量集 ：可以包含有限个或无限个向量：

R n : 所有的n维向量组成的向量集合

矩阵是一组向量：

如果矩阵有m行和n列，我们就说矩阵的大小为m*n，如果m=n，我们称为方阵（square matrix）。

矩阵的元素下标表示，先行后列：

矩阵与标量相乘 ：每一个元素分别与该标量相乘。

矩阵相加 ：两个矩阵的形状必须一致，同位置的元素分别相加。

零矩阵 ：所有元素均为0的矩阵。

单位矩阵Identity matrix ：必须是方阵，对角线元素为1，其余为0，用I n 表示n*n的单位矩阵。

同形状的矩阵的一些运算法则 ：

矩阵的转置 ：沿左上到右下的对角线为轴进行翻转，将(i,j)位置的元素与(j,i)位置的元素互换得到的矩阵，转置的矩阵用A T 表示。

矩阵转置的一些运算规则 ：

矩阵和向量相乘，结果如下：

从行的角度来看矩阵和向量相乘 ：从行的角度看，矩阵A和向量x相乘，其结果是矩阵的A的每一行与向量x做点积(dot product,后面再介绍) 的结果。

从列的角度来看矩阵和向量相乘 ：从列的角度看，矩阵A和向量x相乘，相当于对矩阵A的列向量做了一次线性组合。

因此，无论从行角度还是列角度，矩阵A的列数要与向量x的维数相同。

矩阵和向量相乘的一些性质 ：

如果A和B都是m*n的矩阵，对所有的w，如果都有Aw=Bw，那么是否意味着A=B。结果是显然的。既然是所有的w，那么我们用标准向量就可以得到A和B的每一列都是相同的，因此A=B。

对于一个线性方程组，我们可以写成矩阵和向量相乘的形式：

对于一个线性方程组，其解的情况可能是无解，有唯一解或者有无穷多个解。我们把所有的解的集合称为 解集(solution set)

如果线性方程组有解，我们就称其为 相容的(consistent) ，若无解，则称为 不相容的(inconsistent) 。

线性组合是一个操作，将各个向量缩放之后，相加在一起，就得到了参与操作的向量之间的线性组合。

所以线性方程组的问题可以转变成：b是否可以表示成A中列向量的线性组合？

举几个例子：

通过观察上面的例子，你可能会想，在二维平面中，是不是只要两个向量不平行，就一定有解？答案是肯定的，但有解时两个向量不一定平行，因为目标向量也可能跟它们平行。

对于一个向量集S，其向量的所有线性组合组成的向量集V，称为 Span(S) ，也被称为 S张成的空间 。

举几个二维空间中的例子吧，如果S中只有零向量，那么其张成的空间也只有零向量。

如果S中包含一个非零向量，那么其张成的空间是一条直线：

如果一个向量集包含两个不平行的非零向量，那么其可以张成整个二维平面：

所以一个线性方程组的问题又可以转换成两一个等价的问题：向量b是否在A的列向量所张成的空间中？

在上一节中，我们知道了如果b可以表示成A中列向量的线性组合或者b在A的列向量所张成的空间中，那么线性方程组有解，否则无解。但是，有解的情况下是唯一解还是多个解呢？我们还不知道。

给定一个向量集，如果其中一个向量可以表示成其余向量的线性组合，那么我们就说这组向量是 线性相关(Linear Dependent) 的。值得注意的是，零向量是任意向量的线性组合，因此只要包含零向量的向量集，都是线性相关的。

线性相关还有另一种定义，即可以找到一组非全零的标量，使得线性组合为零向量。

与之相对应，如果无法找到一组非全零的标量，使得线性组合得到零向量，那么这组向量就是 线性无关的(Linear Independent) ：

判断向量集是线性无关还是线性相关，其实就是看一个 齐次方程(Homogeneous Equations) 有无非零解：

由此，对于Ax=b，我们可以得到两个结论：如果A的列是线性相关的，且Ax=b有解，那么，它有无穷多个解；如果Ax=b有无穷多个解，那么A的列是线性相关的：

矩阵的秩(Rank) 定义为线性无关的列的最大数目：

矩阵的零化度(Nullity) 是矩阵的列数减去矩阵的秩：

也就是说，如果一个m*n的矩阵，其秩为n的话，它的列是线性无关的：

所以总结一下线性方程组的解的相关问题：

如果两个线性方程组的解集是相同的，我们就称它们是等价的(equivalent)。

对线性方程组做以下三种操作可以得到等价的方程组： 1）交换两行 2）对其中一行变为k倍 3）将一行的k倍加到另一行上

上面的三种操作我们也称为 初等行变换(elementary row operations)

这里我们介绍一下 增广矩阵(Augmented Matrix) ，即将A和b进行横向拼接：

因此，通过初等行变换，如果我们能够将增广矩阵转换为一个相对简单的形式，那么我们可以很快的得出最终的解。

我们首先介绍行阶梯形式的矩阵，它满足两个条件，首先是非零行要在全零行的上面，其 先导元素(leading entries，每行的第一个非零元素) 按阶梯型排列：

在上述两个条件的基础上，如果先导元素所在的列都是标准向量的话，那么它就是 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form ：

下面的矩阵不是简化行阶梯形式：

而下面的矩阵是简化行阶梯形式：

根据简化行阶梯形式，我们很容易得到线性方程组的解的形式。

如果简化行阶梯形式是[I;b']的，那么线性方程组有唯一解：

下面的例子是有无穷多个解的情况，可以看到，第1、3、5列是包含先导元素的标准向量，其对应的变量也称为基本变量，而第2、4个变量被称为自由变量：

下面的例子是无解的情况，先导元素出现在了最后一列：

通过将增广矩阵化简为简约行阶梯形式，进而求解线性方程组解的方法，我们称之为 高斯消元法(Gaussian Elimination)

接下来，我们来看一下简约行阶梯型形式的一些性质： (1)化简为简约行阶梯型形式之后，列之间的关系不变

也就是说， 初等行变换不改变矩阵中列之间的关系 。加入A的简约行阶梯形式是R，那么Ax=0和Rx=0有相同的解集。

但是对于行来说，行阶梯形式改变了行之间的关系，比如原先两行是两倍的关系，其中一行变为二倍之后，二者就相等了，关系自然改变了。

(2)简约行阶梯形式改变了矩阵列所张成的空间 举个简单的例子就能理解，假设一个矩阵是[[1,2],[2,4]]，它所张成的空间是y=2x，化简后得到[[1,0],[0,0]]，此时所张成的空间却是整个平面。但是没有改变行所张成的空间。

(3)先导元素所在的列线性无关，其他列是这些列的线性组合 先导元素所在的列，在原矩阵中被称为 主列(pivot columns) ,这些列是线性无关的，其他列可以有主列的线性组合得到。

(4) 矩阵的秩等于主列的个数，等于简约行阶梯型里非0行的个数

根据这个性质，我们可以得到矩阵的秩的一个性质： Rank(A) <= Min(Number of columns,Number of rows)

因为秩等于主列的个数，所以秩一定小于等于列的个数，因为秩等于简约行阶梯型中非零行的个数，所以秩一定小于等于矩阵行的个数。

有这个性质我们还可以得出两个简单的结论： 对于m*n的矩阵A，如果m

所以我们再来回顾一下矩阵秩的判定，我们已经有多种得到矩阵秩的方式：

(5)当m*n的矩阵A的秩为m是，方程组Ax=b恒有解 对于增广矩阵来说，如果变为简约行阶梯型后先导元素出现在了最后一列，则无解。

什么情况下Ax=b恒有解呢？b是一个m*1的向量，也就是说矩阵A的列向量可以张成整个R m 空间，即A的秩为行数m，也就是A变成简约行阶梯型之后没有全0行。

(6)m个线性无关的m维向量可以张成整个R m 空间，R m 空间中多于m个向量的向量集一定线性相关

如果m*n的矩阵的秩为n或者m，那么说该矩阵为 满秩(Full Rank) 。

给定两个矩阵A和B，其相乘结果中的元素(i,j)是矩阵A的第i行和矩阵B的第j列的内积，因此，矩阵A的列数一定要个矩阵B的行数相等。

矩阵乘法可以看作是两个线性方程的组合：

(1) AB <> BA (2)(AB) T = B T A T (3)其他性质

(4)对角矩阵相乘

分块矩阵相乘和普通矩阵相乘其实是相同的：

如果两个方阵A和B的乘积是单位矩阵，AB=I，那么A和B就是互为逆矩阵。

一个矩阵是 可逆的(invertible) 的，必须满足两个条件，首先要是方阵，其次是可以找到另一个方阵B，使得AB=I。

并不是所有的方阵都是可逆的。同时，一个矩阵的逆矩阵是唯一的 ：

逆矩阵可以用来求解一个线性方程组，但这种方法要求A是一个方阵，同时在计算上并不是十分有效率的：

我们之前介绍了三种初等行变换，其实初等行变换都可以用矩阵相乘表示，这种左乘的矩阵被称作 初等矩阵(Elementary Matrix) 。即单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。

既然左乘一个初等矩阵相当于对单位矩阵做一次初等行变换，那么只要再左乘一个相反操作的初等矩阵，就可以再次变回单位矩阵，所以初等矩阵的逆很容易得到：

摘 要： 《线性代数》是高等院校一门的重要基础课程，具有较强的逻辑性、抽象性。本文就在线性代数的教学中如何与中学代数紧密衔接、如何确定线性代数的主线及如何阐明线性代数的思想三个问题，给出了一些建议。 关键词： 线性代数 中学代数 主线 思想方法 线性代数是现代数学的一个重要的分支，它主要研究有限维线性空间中的线性关系和数组间的运算关系。线性代数为现代数学、现代物理学、现代化学、计算机科学、现代通信等提供了重要的结论和研究方法。在当今信息时代，线性代数有了越来越广泛的应用，它已成为工科类本科的主干基础课之一。如何教好这门课呢？笔者根据自己在讲授线性代数课的体会，认为在教学中应该需要解决好以下三个关键问题。 1.如何与中学代数紧密衔接 中学代数主要是常量代数，研究的多是常量的定量计算，其教材难度较小，且表述较具体形象，容易理解和接受。线性代数与中学代数相比，具有极强的逻辑性和抽象性。如果不能很好地解决线性代数与中学代数的衔接问题，势必会造成大一学生的诸多不适应。针对这个问题，我们应从中学代数中最基本的解二元一次方程组的消元法引出矩阵及矩阵初等变换的概念，这些概念和方法既与中学代数紧密相连，又贯穿于线性代数这门课程的始终，并让学生明白解线性方程组是线性代数解决的主要问题之一。这样可以与中学代数紧密衔接，让学生感觉到线性代数与中学代数的紧密联系，并且增强学生学习线性代数的动力和兴趣。 2.如何确定线性代数的主线 线性代数课程中表面看起来概念多、定理多、符号多、运算规律多、计算麻烦，且前后内容相互纵横交错，对于初学者来说会觉得有些难度。因此如何从纵横交错的内容中确定出主线，找出前后知识的紧密联系，是在教学过程中必须解决的重要问题之一。（1）第一条主线——线性方程组。线性方程组是产生线性代数这门课程的原动力，对它的研究促成了行列式和矩阵理论的发展。行列式是线性代数一个重要的概念，它广泛应用于数学、工程技术和经济学等领域。中学代数已经讲过二元一次、三元一次方程组（方程的个数和未知量的个数相等）的消元解法，而对于方程的个数和未知量的个数相等的一般线性方程组，应该怎样求解呢？为此引入行列式的概念，进而给出求此类线性方程组的一个重要法则——克拉默法则。因此行列式出现于线性方程组的求解。而克拉默法则对于方程的个数和未知量的个数不相等的线性方程组就不适用了，这时我们就需要引入矩阵这个工具。为了给出一般线性方程组的求解方法，引入矩阵的秩的概念和矩阵的初等变换，通过对增广矩阵施行初等行变换得到方程组的通解，并利用矩阵的秩的定义给出线性方程组有解的充要条件。对任何一个线性方程组，在有解的情况下，我们都能利用初等变换求出它的全部解。那么在线性方程组有无穷多个解的情况下，解与解之间的关系又如何呢？能不能利用有限个解去表示这无穷多个解呢？而要解决这两个问题，我们又必须讨论向量组的线性相关性的有关理论。向量组的线性相关性和线性无关性不过是把线性方程组有无非零解换成另一种说法而已。因为向量组的线性相关等价于齐次线性方程组有非零解。一个向量可由另外一个向量组线性表示的充要条件是由这些向量构成的线性方程组有解。为了利用线性方程组的有限个解去表示无穷多个解，我们需要掌握向量组的极大无关组这个概念，而用极大大无关组表示其余向量本质上就是同时解若干个非齐次方程组。最终利用向量组的线性相关性的理论研究线性方程组的解的结构，从而完善线性方程组的理论。由此可见，线性方程组这条主线将行列式、矩阵和向量组合理地联系起来。（2）第二条主线——实二次型化成标准形。在解析几何中，为了便于研究二次曲线的几何性质，可以做适当的坐标变换，将方程化为只含有平方项的形式，通过这种形式我们可以很方便地识别曲线的类型，研究曲线的性质。而在科学技术和经济管理领域中也会遇到这样类似的问题：要把二次型通过变量的线性变换化简为只含有平方项的形式，即将二次型化为标准形。而为了完成这一工作，我们就需要引入矩阵的特征值和特征向量的概念，进而研究矩阵对角化的条件，重点讨论实对称矩阵可对角化，为将二次型化为标准形做好准备。有了前面的知识准备，我们可以给出三种二次型化为标准形的方法，重点讨论用正交变换化二次型为标准形的方法。因此，线性代数的后两章是以实二次型化成标准形为主线展开讨论，这样就将矩阵的特征值和特征向量、矩阵可对角化及二次型理论有机地联系起来。由上可见，通过解线性方程组和实二次型化成标准形这两条线，可将线性代数课程的主要知识点合理地组织起来。学生抓住这两条主线，能从整体上更清楚地把握线性代数课程的思想和方法，让老师和学生在教与学的过程中做到有的放矢。 3.如何阐明线性代数的思想 线性代数具有极强的逻辑性和抽象性，而这门课程主要面对的是应用型本科学生，那么如何做到既能阐明线性代数的主要思想，又能让工科学生容易接受，这是一个值得探究的问题。笔者认为在教学过程中应该通过大量的例题来阐明线性代数的思想。例如我们在讲解行列式的概念时，用平行四边形的面积和平行六面体的体积的例子来引出二阶和三阶行列式的概念，这样可使学生领会到行列式的理论与几何理论的关系，把行列式用形象的几何图形来描述，让学生了解行列式定义的由来和相关的背景。这样就把很抽象的行列式的概念变得具体化，让学生能较直观地理解概念，并能灵活应用。又如通过求向量组的秩与极大无关组，并将该向量组中其余向量用此极大无关组线性表出这样一个例子可以体现出线性代数中的化归思想。我们可将该问题化归为线性方程组的求解问题，而用矩阵的行初等变换求解线性方程组，因为它易于理解且操作性强，所以只要弄清楚线性方程组的求解问题，向量组极大无关组的问题也就迎刃而解了。我们在讲行列式的定义时，首先会讲2阶的行列式是2项的代数和，每项为行列式中不同行不同列的2个元之积，且将每项元素按行下标自然顺序排列，列下标的逆序数决定该项的正负号；3阶的行列式是6项的代数和，每项为行列式中不同行不同列的3个元之积，且将每项元素按行下标自然顺序排列，列下标的逆序数决定该项的正负号。同样，可类比思考4阶行列式的定义，进而让同学自己给出阶行列式的定义。由直角坐标系下几何向量的长度、夹角、内积、距离公式类比推出规范正交基下维欧氏空间中向量的长度、夹角、内积、距离公式。我们在教学过程中，通过大量例题来阐明线性代数的抽象化思想、化归思想、类比思想等思想方法，既有利于培养学生的探究和创新能力，又能增强应用型本科生学习线性代数的兴趣。结合线性代数中的这些思维方法，学生可在此启发下对高等数学、概率论及数理统计的某些内容进行相同的分析，产生浓厚的学习兴趣。 在线性代数的教学过程中，如果我们能解决好以上三个关键问题，相信教学效果会有明显的改善，而学生也会学得更加轻松快乐。 参考文献： ［1］同济大学数学教研室.线性代数［M］.北京：高等教育出版社，1999. ［2］唐明，冯鸣，缪永伟，周明华.线性代数一本通［M］.杭州：浙江大学出版社，2007. ［3］毕成良，李晓波.《线性代数》教学与观念更新［J］.兵团教育学院学报，2003，13（4）：31-33. ［4］张姗姗.线性代数教学改革的思考［J］.考试周刊，2011，（30）.