高数自考真题及答案详解

需要指出的是这里的z=z(y)为一幂指函数，不可直接按照指数函数或幂函数法则直接求导。首先对函数进行转化如下恒等变换：z=exp( ln[(1+xy)^y] )=exp( y*ln(1+xy) ) 这时已将函数转化成了复合指数函数。接下来按照指数函数求导如下：z'(y)=exp( y*ln(1+xy) ) * (指数部分求导内容) = (1+xy)^y * (指数部分求导内容) =(1+xy)^y * [ln(1+xy) + y/(1+xy) * x] =(1+xy)^y * [ln(1+xy) + xy/(1+xy) ] 即为最后答案

我有一到跟这差不多的题你看一下过程设平面区域D={（x，y）|1≤x 2+y 2≤4，x≥0．y≥0}．计算 ∫∫ D xsin(π x2+y2) x+ydxdy．答案∵积分区域D关于x，y的对称性 ∴ ∬ D xsin(π x2+y2) x+ydxdy= ∬ D ysin(π x2+y2) x+ydxdy 因此有： ∬ D xsin(π x2+y2) x+ydxdy= 1 2[ ∬ D xsin(π x2+y2) x+ydxdy+ ∬ D ysin(π x2+y2) x+ydxdy] = 1 2 ∬ D (x+y)sin(π x2+y2) x+ydxdy = 1 2 ∬ Dsin（π x2+y2）dxdy 令x=rcosθ，y=rsinθ   r∈[1，2]，θ∉[0， π 2]； 于是原积分可化为： ∬ D xsin(π x2+y2) x+ydxdy= 1 2 ∬ Dsin（π x2+y2）dxdy = 1 2 ∫ π 20dθ ∫ 21rsinπrdr = π 4 ∫ 21rsinπrdr = 1 4 ∫ 21rsinπrdπr = 1 4×（- ∫ 21rdcosπr） = 1 4×（-rcosπr | 21+ ∫ 21cosπrdr） = 1 4×（-3+ ∫ 21cosπrdr） =- 3 4． 故本题答案为：- 3 4．