自学考试线性代数真题及答案详解

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全国2007年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．设行列式=1，=2，则=（）A．-3B．-1C．1D．32．设A为3阶方阵，且已知|-2A|=2，则|A|=（）A．-1B．-C．D．13．设矩阵A，B，C为同阶方阵，则（ABC）T=（）A．ATBTCTB．CTBTATC．CTATBTD．ATCTBT4．设A为2阶可逆矩阵，且已知（2A）-1=，则A=（）A．2B．C．2D．5．设向量组α1，α2，…，αs线性相关，则必可推出（）A．α1，α2，…，αs中至少有一个向量为零向量B．α1，α2，…，αs中至少有两个向量成比例C．α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D．α1，α2，…，αs中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合6．设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（）A．A的列向量组线性无关B．A的列向量组线性相关C．A的行向量组线性无关D．A的行向量组线性相关7．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是其导出组Ax=0的一个基础解系，C1，C2为任意常数，则方程组Ax=b的通解可以表为（）A．B．C．D．8．设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3.则|B-1|=（）A．B．C．7D．129．设A为3阶矩阵，且已知|3A+2E|=0，则A必有一个特征值为（）A．B．C．D．10．二次型的矩阵为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11．设矩阵A=，B=，则A+2B=_____________.12．设3阶矩阵A=，则（AT）-1=_____________.13．设3阶矩阵A=，则A*A=_____________.14．设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，则矩阵B=AC的秩为__________.15．设向量α=（1，1，1），则它的单位化向量为_____________.16．设向量α1=（1，1，1）T，α2=（1，1，0）T，α3=（1，0，0）T，β=（0，1，1）T，则β由α1，α2，α3线性表出的表示式为_____________.17．已知3元齐次线性方程组有非零解，则a=_____________.18．设A为n阶可逆矩阵，已知A有一个特征值为2，则（2A）-1必有一个特征值为_____________.19．若实对称矩阵A=为正定矩阵，则a的取值应满足_____________.20．二次型的秩为_____________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．求4阶行列式的值.22．设向量α=（1，2，3，4），β=（1，-1，2，0），求（1）矩阵αTβ；（2）向量α与β的内积（α，β）.23．设2阶矩阵A可逆，且A-1=，对于矩阵P1=，P2=，令B=P1AP2，求B-1.24．求向量组α1=（1，1，1，3）T，α2=（-1，-3，5，1）T，α3=（3，2，-1，4）T，α4=（-2，-6，10，2）T的秩和一个极大线性无关组.25．给定线性方程组（1）问a为何值时，方程组有无穷多个解；（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.26．求矩阵A=的全部特征值及对应的全部特征向量.四、证明题（本大题6分）27．设A是n阶方阵，且（A+E）2=0，证明A可逆.

有一些课堂笔记， 不知道对你有没有用，还是发给你吧第一章 行列式 线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。1.1 行列式的定义 （一）一阶、二阶、三阶行列式的定义 （1）定义：符号 叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为： 。 注意：在线性代数中，符号 不是绝对值。 例如 ，且 ； （2）定义：符号 叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为： 所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。例如 （3）符号 叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为 例如 =0 三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。 例如： （1） =1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0 （2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1 a为何值时， [答疑编号10010101：针对该题提问] 解 因为 所以8-3a=0， 时 例2 当x取何值时， [答疑编号10010102：针对该题提问] 解：解得 01）： [答疑编号10010307：针对该题提问] 解 将行列式按第一列展开，得例12 计算范德蒙德（VanderMonde）行列式： [答疑编号10010308：针对该题提问]例13 计算 [答疑编号10010309：针对该题提问] 例14 计算 [答疑编号10010310：针对该题提问]=（x+4a）（x-a）4 1.4 克拉默法则 由定理1.2.1和定理1.3.1合并有 或 （一）二元一次方程组 由a22①-a12②得 由a11②-a21①得 令 =D =D1 =D2 则有 ∴当D≠0时，二元一次方程组有唯一解（二）三元一次方程组 令 叫系数行列式 ， ， 由D中的A11①+A21②+A31③得 即 由D中的A12①+A22②+A32③得 即 由D中的A13①+A23②+A33③得 即 ∴当D≠0时，三元一次方程组有唯一解一般地，有下面结果 定理（克拉默法则） 在n个方程的n元一次方程组 （1）中，若它的系数行列式 ≠0则n元一次方程组有唯一解。 推论：在n个方程的n元一次齐次方程组 （2） 中（1）若系数行列式D≠0， 方程组只有零解 （2）若系数行列式D=0 则方程组（2）除有零解外，还有非零解（不证）例 在三元一次齐次方程组 中，a为何值时只有零解，a为何值时有非0解。 [答疑编号10010401：针对该题提问] 解： =2a-6+3-4-（-9）-a=a+2 ∴（1）a≠-2时，D≠0,只有零解 （2）a=-2时 ，D=0 ，有非零解。 本章考核内容小结 （一）知道一阶，二阶，三阶，n阶行列式的定义 知道余子式，代数余子式的定义 （二）知道行列式按一行（列）的展开公式（三）熟记行列式的性质，会用展开公式或将行列式化为三角形的方法计算行列式 重点是三阶行列式的计算和各行（列）元素之和相同的行列式的计算 （四）知道克拉默法则的条件和结论 本章作业 习题1.1 1.（1）（4）（5）（6） 3.（1）（2） 习题1.2 1、2、3.（1）（2）（3），4.（1） 习题1.3 1.（1）（2）（3） 2.（1）（2） 4.（1）（2） 5、6.（1）（2）（3）（4）（5）（8）（11）（12）（14）