经济师需求函数的公式

先给你说基本公式吧，马歇尔需求函数是Di=Di（P，M）
Di是对i种商品的需求量，P是价格向量=（P1，P2，，Pi，Pn），
M是预算收入的，就是初始状态经济单位（比如一个人）拥有的财富。

有些教材里M的也可以换做初始禀赋Y，即经济单位初始时的物质财富向量Y=（Y1，Y2，，Yi，Yn），那么马歇尔需求函数也可以写成Di=Di（P，Y）。说白了，Y和M是一样的，只不过M是货币财富，Y是物质财富，物质财富Y乘以他们的价格P就可以得到M。一般来说，常用的是第一种表达式。

希克斯需求函数是Hi=Hi（P，U）
Hi是对i种商品的需求量（在对偶的情况下，Di=Hi，写成不一样的符合是为了区别两种不同的需求），P是价格向量=（P1，P2，，Pi，Pn），
U表示想要达到的效用。

马歇尔函数和希克斯函数的区别是，马歇尔是求一定财富下的效用最大化问题，希克斯是求一定效用下的支出最小化问题。经济学考试中有很多关于求马歇尔函数的题和求希克斯需求的题，不管怎么样，你只要把握以下原则。

马歇尔需求函数的由来是以下的预算方程：
max U（D），P*D <= M
max是最大化问题
U（D）是效用函数，写得具体些就是U=U（D1，D2，，Di，,Dn）
P*D=P1*D1+P2*D2++Pi*Di+Pn*Dn，M就是初始的财富
这个预算方程的意思是：求Di，使得P*D在小于等于初始财富M的情况下，达到效用U最大化。

希克斯需求函数的由来是以下的预算方程：
min P*H，U（H）<= U0
min是最小化问题
P*H=P1*H1+P2*H2++Pi*Hi+Pn*Hn
U（H）是效用函数，写得具体些就是U=U（H1，H2，，Hi，,Hn）
U0是给定的外生效用
这个预算方程的意思是：求Hi，使得U（H）在大于等于设置的外生效用U0情况下，达到支出P*H最小化。

只要掌握这两点根本的原则，基本上所有相关的经济学题目都可以解决。

下面再进一步说说我对这两种需求理论的理解。这两种需求理论，其实无非是变化了外生变量和内生变量的设置。这两个需求理论的最关键的变量是P，M，U。可以看出，马歇尔的需求函数外生的变量设置为P，M以及U的函数，希克斯需求函数是P，U0，和U的函数。给定了P，M以及U的函数你就可以求出D和最大化的效用maxU，给定了P，U0以及U的函数你就可以求出H和最小的支出minM。

所谓对偶就是如果我们把希克斯外生条件中的U0设置为马歇尔的maxU，那么必定希克斯最小化minM等于马歇尔外生的M。同样如果把minM设置外马歇尔的M，那么必定马歇尔的maxU等于希克斯外生的U0。

只要你紧紧抓住外生变量是什么的区别，这两个函数也就没什么复杂的了。

那么为什么这样两个基本上一致的需求问题非要弄得这么麻烦呢？请继续看
如何用马歇尔需求函数和希克斯需求函数推出 斯拉茨基 方程。

第一步，Di（P，M）=Di[P，M（P，U）]=HiP,U

首先，解释下M（P，U）这个式子。这是式子其实也是从希克斯需求函数的预算方程得出的结论，它是 支付函数。从上面的分析可以知道，Hi是最小化支出的解，那么最小化支出就是M=P*HP,U=MP,U。因为在M=P*HP,U的式子中，外生变量仍然只有P和U两个，所以可以合并P*HP,U这个方程，写作M=MP,U。

然后，再看Di（P，M）=Di[P，M（P，U）]=HiP,U这个式子。很清楚，这个等式暗含了对偶的条件，等式最左边是马歇尔需求函数，M是外生的，等式最右边是希克斯函数，U是外生的。也就是说这个等式假设了：马歇尔需求里外生的初始财富，已经希克斯需求函数的内生变量。

第二步，对等式左右求Pi的导数。有
dDi/dPi+dDi/dM*dM/dPi=（dHi/dPi）
（dDi/dPi）=（dHi/dPi）-dDi/dM*dM/dPi

这里d是导数的符号。
上面的第二个式子的意义是，当第i种商品的价格升高时，对第i种商品的马歇尔需求量变化（dDi/dPi）由替代效应（dHi/dPi）和收入效应（dDi/dM*dM/dPi组成。因为（dHi/dPi）意味着效用不变（希克斯函数的假设就是效用外生，维持在初始的状态U0）的情况下，需求的变化；（dDi/dM意味着财富变化对i商品的需求变化，dM/dPi是i商品价格变化对真是财富变化的影响量。

如果更进一步，从支出函数可以推出（dM/dPi）事实上等于Di，从对偶方程还可以推出希克斯补偿效应等。这些方面的推导我有点忘了。

这样我们就能从马歇尔和希克斯需求函数把以前只能在图形上看出来的替代效应和收入效应用数学的方式表示出来。我且肤浅的认为这就是马歇尔和希克斯需求函数最有意义的推广，也是将两者区分开来最有用的地方。梳理下：

从给定初始财富的最大化效用和给定初始效用的最小化支出————马歇尔需求函数和希克斯需求函数（加上间接效用函数、支出函数）——对偶后——斯拉茨基方程（其实还有一些推广）————希克斯补偿效应等

抱歉我没有听说过马歇尔函数和希克斯函数的图形——

《经济数学基础》是高等教育经济与学类专科各专业学生的一门必修的重要基础课。它是为培养适应四个现代化需要的、符合市场经济要求的应用型经济人才服务的。

通过本课程的学习，使学生获得微积分、线性代数的基本知识，培养学生的基本运算能力，增强学生用定性与定量相结合的方法处理经济问题的初步能力，培养和提高学生的逻辑思维能力，空间想象能力及综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力。

通过本课程的学习，要为学习财经科各专业的后继课程和今后工作需要打下必要的数学基础。

二、课程的目的与要求

使学生对极限的思想和方法有一定认识，对具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系有初步的了解，掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，建立变量的思想，培养辩证唯物主义观点，并受到运用变量数学方法解决实际问题的训练。

使学生熟悉线性代数的研究方法，提高学生抽象思维、逻辑推理以及运算能力。

三、课程的教学要求层次

教学要求中，有关定义、定理、性质、特征等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式、法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。

四、学时和学分

 学时分配

序号

内容

课 内学 时

0

预备知识

0

1

微分学

36

2

积分学

18

3

线性代数

36

 学分

本课程18学时为1学分，共5学分

第二部分 教学内容与教学要求

预备知识

数系、绝对值。一次方程、二次方程。数轴与直角坐标系。直线方程。一次、二次不等式及图示法。

集合与区间

一、微分学    36 学时 

 一  教学内容

 函数

常量与变量，函数概念，复合函数，初等函数，分段函数。

 幂函数、多项式函数

一次、二次函数  二次曲线  ，幂函数，多项式函数，有理函数。

 指数函数和对数函数

指数与对数运算法则，指数函数，对数函数，以 e 为底的指数，自然对数函数。

 三角函数

正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数。

 经济函数举例

需求、供给、成本、平均成本、收入、利润函数等。

 极限

极限的定义，无穷小量的定义与基本性质，极限的四则运算，两个重要极限。

 连续函数

连续函数的定义和四则运算，间断点。

条件要素需求函数应该是给定产量的条件下，企业实现利润最大化时，要素的使用量与其价格和产量的关系。
一般的方法是：
设L的价格为pl，K的价格为pk，生产函数为Q＝fK，L
求：minC＝L*pl+K*pk
S
fK，L=Q
求出上述约束优化问题的解K，和L就是条件需求函数，成本函数C＝L*pl+K*pk，其中K和L是上述优化问题的解。
本题产函数线性函数优化问题解边界解具体:
1a/b>pl/pk优解K=0L=Q/a
本函数C=L*pl+K*pk=Q/a*pl
2a/b
本函数C=L*pl+K*pk=Q/b*pk
生产函数表示在一定时期内，在技术不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的函数关系。生产函数可以用一个数理模型、图表或图形来表示。“生产”在经济学中是一个具有普遍意义的概念，经济学意义上的“生产”不仅仅意味着制查一台机床或是纺织一匹布，它还包含了其他各种各样的经济活动“生产”并不仅限于物质产品的生产，还包括金融、运输、家庭服务等各类服务性活动。
条件要素需求函数是求成本最小化规划问题的解，表示的是在对产出量有一定要求的情况下的要素需求量，其是要素价格、产品价格和产出量的函数，说明在价格固定的情况下，q越大，则要求的要素投入也越大。
而要素需求函数一般在解利润最大化规划问题得出，此时没有不等式约束只有y=fx的等式约束（其实还是有不等式约束的，只是到高级微观时才要求掌握），求出的需求函数只是要素价格的函数，其实两者所要表达的经济学含义是一样的，因为产出量（即企业的供给函数）也是要素价格和产品价格的函数，只要将供给函数带入条件要素需求函数即可得要素需求函数。

微观经济学理论消费者理论：马歇尔需求函数求法，性质，Roy恒等式，间接效用函数；希克斯需求函数，性质，shepard引理，支出函数。注意常用的L型，完全替代型，C--D效用，拟线性效用。注意间接效用函数与支出函数互为反函数。斯拉斯基方程推导，替代效应与收入效应分析分清斯拉斯基与希克斯），包括给定收入与给定禀赋两种形式的，还有在劳动供给，消费和储蓄中的分配中的分析。从价税，从量税，一次总付原则。显示偏好与拉氏，帕氏价格指数，与替代效应恒负的推导关系。替代品，互补品。消费者剩余。等价变动，补偿变动。组合商品。厂商理论：（注意长期与短期区别）要素需求函数（解利润最大化或者成本最小化），条件要素需求函数（解成本最小化），利润函数，成本函数，供给函数。注意与消费者理论对比，间接效用函数----利润函数，支出函数----成本函数，条件要素需求函数--希克斯需求函数。Hotelling引理，shepard引理。成本函数与生产函数互推的关系，比如在求规模报酬时用到，规模报酬的区间（注意是在一个点为分界的）。多工厂模型。生产者剩余。完全竞争理论：短期均衡以及条件，长期均衡（注意是否会影响要素价格，有三种情况）一般的问法厂商个数，产量，价格。条件（可能涉及规模报酬不变，严格规模报酬递减，U型长期平均成本）。限制价格，支持价格，从量税，从价税的福利分析，配额，关税，贸易政策。要素理论：要素需求构造（是垄断厂商的需求大，还是完全竞争厂商需求大），要素供给构造，买方垄断，最低工资，经济租，上下游垄断与一体化分析。工会与厂商博弈。市场失灵：外部性（主要分析负外部性）及处理办法，pigou税，科斯定理，内部化，许可证市场。公共地悲剧，公共品的有效供给与萨缪尔森法则。兰姆赛规则与最优税制。不确定性：期望效用，一个决策是否值得。普拉特系数，确定性等值，在完全信息条件下，保险分析全额还是不全额投保。CAPM理论。比较静态分析事件概率以及收入变化的影响。博弈论与信息经济学：静态博弈，写法，最优反应函数，拍卖，hotelling模型，公共地悲剧，囚徒困境，古诺，勃兰特寡头。混合策略。子博弈纳什均衡，逆向归纳法（最关键是分析谁最后做决策），要挟诉讼，战略竞争中的价格博弈与产量博弈，谁领导谁跟从？进入退出博弈，不可置信的概念，鲁宾斯坦模型，讨价还价分一美元，工会与厂商的博弈，关税博弈，银行挤兑，连锁店博弈，串谋，有限与无限重复博弈，folk定理。委托理论：逆向选择，道德风险，在保险市场分析，是否有可分均衡,汇合均衡。逆向选择解决办法，信号理论。柠檬市场以及解决办法。隐藏行为数学模型，满足参与约束，激励相容约束。

价格弹性公式是e=dlnQ/dlnP=dQ/dP*P/Q。

其中第一项表示价格微小的变化所引起的数量的变化是数量对于价格在该点的导数。

如果数量是价格的连续可导函数Q=Q（P），第一项就是dQ/dP=dQ（P）/dP，把该点的（P，Q）代入就可以算出其弹性。

简单一点的常用一点的是线性需求函数Q=a-bP，a，b>0，dQ/dP=-b，那么（P0，Q0）点的弹性是e=-b*P0/Q0。

含义

当两个经济变量间存在函数关系时，作为自变量的经济变量的变化，必然引起作为因变量的经济变量的变化。弹性即表示因变量经济变量的相对变化对自变量相对变化的反应程度或灵敏程度。

弹性理论是解释价格变动与需求量变动之间量的关系的理论。弹性理论分为需求弹性和供给弹性，需求弹性又分为需求的价格弹性、需求的收入弹性与需求的交叉弹性三种类型。