成人高考历代真题数学必修二

一、选择题1．下列式子中正确的个数是(　　)①loga(b2－c2)＝2logab－2logac②(loga3)2＝loga32③loga(bc)＝(logab)•(logac)④logax2＝2logaxA．0　 　 　B．1　 　 　C．2　 　 　D．3[答案]　A2．如果lgx＝lga＋2lgb－3lgc，则x等于(　　)A．a＋2b－3c　　　　　 B．a＋b2－ [答案]　C[解析]　lgx＝lga＋2lgb－3lgc＝lgab2c3，∴x＝ab2c3，故选．(2010•四川理，3)2log510＋＝(　　)A．0 B．1C．2 D．4[答案]　C[解析]　2log510＋＝log5100＋＝log525＝．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为(　　)A．a－2 B．5a－2C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1[答案]　A[解析]　由log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－． 的值等于(　　)A．2＋5 B．25C．2＋52 D．1＋52[答案]　B[解析]　据对数恒等式及指数幂的运算法则有： 6．与函数y＝10lg(x－1)的图象相同的函数是(　　)A．y＝x－1 B．y＝|x－1|C．y＝x2－1x＋1 D．y＝(x－1x－1)2[答案]　D[解析]　y＝10lg(x－1)＝x－1(x>1)，故选．已知f(log2x)＝x，则f(12)＝(　　)　　　 　　　　　　 [答案]　D[解析]　令log2x＝12，∴x＝2，∴f(12)＝．如果方程lg2x＋(lg2＋lg3)lgx＋lg2•lg3＝0的两根为x1、x2，那么x1•x2的值为(　　)A．lg2•lg3 B．lg2＋lg3C．－6 [答案]　D[解析]　由题意知lgx1和lgx2是一元二次方程u2＋(lg2＋lg3)u＋lg2•lg3＝0的两根∴lgx1＋lgx2＝－(lg2＋lg3)，即lg(x1x2)＝lg16，∴x1x2＝．(09•湖南文)log22的值为(　　)A．－2 ．－12 [答案]　D[解析]　log22＝log2212＝．(09•江西理)函数y＝ln(x＋1)－x2－3x＋4的定义域为(　　)A．(－4，－1) B．(－4,1)C．(－1,1) D．(－1,1][答案]　C[解析]　要使函数有意义，则需x＋1>0－x2－3x＋4>0，即x>－1－40x－1>0x－1≠1，解得10，且x≠1)画图：一条射线y＝x(x>0)除去点(1,1)． 17．已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg2＋lgx＋lgy，求xy的值．[解析]　由已知条件得x＋2y>0x－y>0x>0y>0(x＋2y)(x－y)＝2xy即x>yy>0(x＋2y)(x－y)＝2xy，整理得x>yy>0(x－2y)(x＋y)＝0∴x－2y＝0，因此xy＝．已知函数y＝y1＋y2，其中y1与log3x成正比例，y2与log3x成反比例．且当x＝19时，y1＝2；当x＝127时，y2＝－3，试确定函数y的具体表达式．[解析]　设y1＝klog3x，y2＝mlog3x，∴当x＝19时，klog319＝2，∴k＝－1当x＝127时，mlog3127＝－3，∴m＝9∴y＝y1＋y2＝－log3x＋9log3x.

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一、选择题 1．已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与α的位置关系(　　) A．b∥α　　　 B．b与α相交 C．b⊂α D．b∥α或b与α相交 [答案]　D [解析]　∵a，b相交，∴a，b确定一个平面为β，如果β∥α，则b∥α，如果β不平行α，则b与α相交． 2．下列命题中正确的是(　　) ①过一点一定存在和两条异面直线都平行的平面 ②直线l、平面α与同一条直线m平行，则l∥α ③若两条直线没有公共点，则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行 A．① B．③ C．①③ D．①②③ [答案]　B [解析]　举反例，即特例法 ①当点在一条直线上时，不存在； ②l⊂α，m∥l时，②错； ③两直线a、b无公共点，有两种情况：i)a∥b　ii)a、b异面，都存在平面α经过直线b，且α∥a 故选B. 3．在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则MN与平面BDC的位置关系是(　　) A．MN⊂平面BDC B．MN与平面BDC相交 C．MN∥平面BDC D．MN与平面BDC位置关系不确定 [答案]　C [解析]　∵＝　∴MN∥BD 又MN⊄面BDC　∴MN∥面BDC. 4．给出下列结论 (1)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行． (2)过直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行． (3)a、b是异面直线，则过b存在惟一一个平面与a平行． 其中正确的有(　　) A．1个　 　 B．2个　 　 C．3个　 　 D．4个 [答案]　A [解析]　(1)错　(2)错 　 (3)正确　在b上取一点B，过这点平行于a的直线只有一条a′，b与a′确定唯一平面α，且a∥α. 5．异面直线a、b分别在α、β内，α∩β＝l，则直线l与a、b的位置关系一定是(　　) A．l至少与a、b中一条相交 B．l至多与a、b中一条相交 C．l至少与a、b中一条平行 D．l与a、b都相交 [答案]　A [解析]　由条件知，l与a都在平面α内，l与b都在平面β内，若l与a、b都不相交，则l∥a，l∥b，从而a∥b，与a、b异面矛盾，∴l至少与a、b中的一条相交． 6．给出下列结论： (1)平行于同一条直线的两条直线平行； (2)平行于同一条直线的两个平面平行； (3)平行于同一平面的两条直线平行； (4)平行于同一个平面的两个平面平行． 其中正确的个数为(　　) A．1个　 　 B．2个　 　 C．3个　 　 D．4个 [答案]　B [解析]　由公理4知(1)正确，正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1∥平面ABB1A1，DD1∥平面BB1C1C，但两个平面相交，故(3)错；同样在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1与B1C1都与平面ABCD平行，故(3)错；(4)正确，故选B. 7．给出下列命题： ①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行； ②若直线与平面内的任意一条直线无公共点，则直线与平面平行； ③若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行； ④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行． 其中正确命题的序号是(　　) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ [答案]　A [解析]　由定义知①正确；若直线与平面内的任一条直线无公共点，则此直线与平面无公共点，∴②正确；如图(1)，直线a∩α＝A，a与α内不过A点的任意直线都不相交，故③错；如图(2)，a∥b，b⊂α，满足a∥b，a∥α，故④错． 8．直线a′⊂平面α，直线b′⊂平面α，且a′∥b′，其中a′，b′分别是直线a和直线b在平面α上的正投影，则直线a与直线b的位置关系是(　　) A．平行或异面 B．相交或异面 C．相交、平行或异面 D．以上答案都不正确 [答案]　A [解析]　如图，a与b可能平行，也可能异面． 9．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值为(　　) A．0 B．3 C．12 D．不存在 [答案]　B [解析]　由题意AB＝5，设PA＝x，则0≤x≤5，PB＝5－x， ＝，＝， ∴PM·PN＝x·(5－x)＝x(5－x)， ∴当x＝时取最大值3. 10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D的位置关系是(　　) A．EF∥平面BB1D1D B．EF与平面BB1D1D相交 C．EF⊂平面BB1D1D D．EF与平面BB1D1D的位置关系无法判断 [答案]　A [证明]　取D1B1的中点O，连OF，OB， ∵OF綊B1C1，BE綊B1C1，∴OF綊BE， ∴四边形OFEB为平行四边形，∴EF∥BO ∵EF⊄平面BB1D1D，BO⊂平面BB1D1D， ∴EF∥平面BB1D1D，故选A. 二、填空题 11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是______． [答案]　相交 [解析]　因为M是A1D1的中点，所以直线DM与直线AA1相交，所以DM与平面A1ACC1有一个公共点，所以DM与平面A1ACC1相交． 三、解答题 12．如图所示的几何体中，△ABC是任意三角形，AE∥CD，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点． 求证：DF∥平面ABC. [证明]　如图所示，取AB的中点G，连接FG、CG，∵F、G分别是BE、AB的中点， ∴FG綊AE， 又AE＝2a，CD＝a， ∴CD＝AE， 而AE∥CD，∴CD綊FG， ∴四边形CDFG为平行四边形， ∴DF∥CG. 又CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC. 13．如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG. [证明]　如图，连结DM，交GF于O点，连结OE， 在△BCD中，G、F分别是BD、CD的中点，∴GF∥BC. ∵G是BD中点， ∴O为MD中点． 在△AMD中，∵E、O为AD、MD中点，∴EO∥AM. 又∵AM⊄平面EFG，EO⊂平面EFG.∴AM∥平面EFG. 14．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点． (1)求证：MN∥平面PAD； (2)若MN＝BC＝4，PA＝4，求异面直线PA与MN所成的角的大小． [解析]　(1)取PD的中点H，连结AH，NH，∵N是PC的中点，∴NH綊DC.由M是AB的中点， ∴NH綊AM，即四边形AMNH为平行四边形． ∴MN∥AH. 由MN⊄平面PAD，AH⊂平面PAD， ∴MN∥平面PAD. (2)连结AC并取其中点O，连结OM、ON， ∴OM綊BC，ON綊PA. ∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角， 由MN＝BC＝4，PA＝4，得OM＝2，ON＝2. ∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠ONM＝30°， 即异面直线PA与MN成30°的角． 15．如图，正方形ABCD和正方形ADEF相交于AD，M、N分别是BD、AE上的点，且AN＝BM.求证：MN∥平面EDC(用两种证法证明)． [证明]　证法1：作NP∥AD交DE于P，作MQ∥AD交DC于Q，则NP∥MQ.∵AN＝BM，∴NE＝DM， ∴＝，又＝，＝， ∴NP＝MQ，∴NP綊MQ ∴MNPQ为平行四边形，∴MN∥PQ 又PQ⊂平面EDC　MN⊄平面DEC， ∴MN∥平面EDC 证法2：连AM并延长交直线DC于H，连EH. ∵AB∥CD　∴＝ 又BM＝AN，BD＝AE，∴＝，∴NM∥EH ∵MN⊄平面EDC，EH⊂平面EDC ∴MN∥平面EDC. 16．(09·山东文)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1. [解析]　取A1B1的中点F1，连结FF1，C1F1， 由于FF1∥BB1∥CC1， 所以F1∈平面FCC1， 因此平面FCC1即为平面C1CFF1，连结A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊CD， 所以四边形A1DCF1为平行四边形， 因此A1D∥F1C. 又EE1∥A1D，得EE1∥F1C， 而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1， 故EE1∥平面FCC1. [点评]　学过下节后，可用面面平行证明如下： 因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC. 又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1， 又EE1⊂平面ADD1A1， 所以EE1∥平面FCC1.

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