公务员考试中不定方程

不定方程定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(方程组)。简单地说就是未知数个数大于方程个数，比如：方程a+7b=21。不定方程的解一般有无数个，但命题人不会出没有答案的考题，因此，解不定方程的方法有下面几种：一、尾数法当未知数的系数有5或10的倍数时使用有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是：辆 辆 辆 辆【答案】B华图解析：尾数法，设大客车需要x辆，小客车需要y辆，则37x+20y=271，20y的尾数一定是0，则37x的尾数等于271的尾数1，由于3×7=(21)，x的尾数就是3，结合选项，正确答案就是B。二、奇偶性当未知数的系数有偶数时使用某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人? 【答案】D华图解析：此题初看无处入手，条件仅仅有每位教师所带学生数量为质数，条件较少，无法直接利用数量关系来推断，需利用方程法。设每位钢琴教师带x名学生，每位拉丁舞教师带y名学生，则x、y为质数，且5x+6y=76。对于这个不定方程，需要从整除特性、奇偶性或质合性来解题。很明显，6y是偶数，76是偶数，则5x为偶数，x为偶数。然而x又为质数，根据“2是唯一的偶质数”可知，x=2，代入原式得y=11。现有4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，则剩下学员4×2+3×11=41人。因此选择D。三、整除法利用整除的加和性，如：a+b=c，若a能被x整除，c也能被x整除，那么b一定能被x整除。小李用150元钱购买了16元一个的书包、10元一个的计算器和7元一支的钢笔寄给灾区儿童，如果他买的每一样物品数量都不相同，且书包数量最多而钢笔数量最少，那么他买的计算器数量比钢笔多多少个? 【答案】B华图解析：用150元购买16元一个的书包、10元一个的计算器和7元一个的钢笔，设买了x个书包，y个计算器和z支钢笔，则16x+10y+7z=150，这是个不定方程。由于16x、10y和150都是偶数，则7z为偶数，z只能为偶数。由于zz=2，则x只能取6(当x取更大值时，y为负数)，y=4，满足题意。故计算器比钢笔多4-2=2个。

一、奇偶性结合代入排除在自然数中，我们可以将数字分成两类，即奇数和偶数。在进行加减乘除运算中，我们可以利用奇偶之间的运算性质进行求解。在加减法中：奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数;在乘法中：奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数。利用奇偶性确定答案是奇数还是偶数，再将剩余的无法排除的选项代入验证。例1 某单位向希望工程捐款，其中部门领导每人捐50元，普通员工每人捐20元，某部门所有人员共捐款320元，已知该部门总人数超过10人，问该部门可能有几名部门领导?A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：设部门领导X人，普通员工Y人，可以列出一下的方程：50X+20Y=320且X+Y>10，将方程进行化简可得：5X+2Y=32。由于32是偶数，2Y是偶数，因此5X肯定也是偶数，由于5是奇数，X必须得是偶数。因此我们就可以排除A、C这两个选项。将B选项2代入到式子中，Y等于11，X+Y>10，符合条件。因此答案就选择B。二、利用尾数法在有些式子中，我们可以利用式子中各数的尾数关系，进行求解，尤其是一些未知数前面系数是5或者是5的倍数的时候，我们就可以利用尾数法。因为一个数乘以5的位数是较为固定的，要么是5要么是0。例2 超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装和每个装5个苹果，公用了十多个盒子刚好装完。两种包装盒相差多少个?A. 3 B. 4 C. 7 D. 13解析：设大包装盒有 x 个，小包装盒有 y 个，则 12x+5y=99，其中x、y 之和为十多个。观察方程可得 5y 的尾数只能是 5、0，那么对应的 12x 的尾数只能为 4 或者 9，而 12x 为偶数，故尾数只能为 4。此时，只有 x=2 或者 x=7 时满足这一条件。当 x=2 时，y=15，x+y=17，正好满足条件，y-x=13;当 x=7 时，y=3，x+y=10，不符合条件。综上所述，只能选择 D。三、利用特值法在一些不定方程中，最终是要求几个未知数的整体值，在这种情况下，可以将某一个数设为特值0，将不定方程变成一般方程进行求解。例3 甲乙丙三种货物，如果购买甲3件，乙7件，丙一件需要花元，如果购买甲4件、乙10件、丙1件需要花元，那么购买甲乙丙各一件需要花多少钱?A. B. C. D. 解析：这道题目最终要求的是甲乙丙这三个未知数的整体值，由已知可得，3甲+7乙+1丙=，4甲+10乙+1丙=。令甲=0，解得：乙=，丙=，则甲+乙+丙=。所以选A.四、利用整除特性在不定方程中，若发现方程的结果和方程中一个带有未知数的数字能够同时被某一个数整除，我们就可以利用整除特性去确定另一个未知数的取值范围。例4 某企业采购A类、B类和C类设备各若干台，21台设备共用48万元。已知A、B、C三类设备的单价分别为万元、2万元和万元。问：该企业最多可能采购了多少台C类设备?(2018-四川省考)A. 16 B. 17 C. 18 D. 19解析：设C类设备的台数为X，B类设备的台数为Y，则A类设备的台数为21-X-Y，可以列出以下方程：(21-X-Y)+2Y+，化简可得：2Y+3X=57，由于57和3X都可以被3整除，因此2Y也能被3整除，2不能被3整除，可得Y能够被3整除。为了使C类设备尽可能的多，其他设备需要尽可能的少，因此Y取到最小值为3，则C类设备的最大值为17，选择C。

对于行测考试，很多考生采取的策略都是放弃数量关系。从考场做题的题量和时间来看，很多同学确实做不完。但是，适当的放弃并不是说放弃某个部分所有的题目。从近几年的考试来看，每个部分里面都有比较难的题目。言语有些题目会在两个选项纠结;判断推理有朴素逻辑;图形推理看不出规律，资料分析计算量特别大等等。对于这些题目，各位考生不要觉得是语言类题目，放弃比较可惜，一直纠结于这一道题目。那么会得不偿失，这些题目其实完全是可以放弃的。而数量关系中也有相当一部分的题目比较简单，是可以掌握以及得分的。这只需要考生掌握基本的解题技巧就行。不定方程就是这一类题目。今天中公教育就带领大家学习一下不定方程以及其解法。首先，大家要知道什么是不定方程，不定方程是未知数个数大于独立方程个数。比如说X+2Y=10这个方程有无数组解，但是在行测中，对于未知数往往会限定为正整数。那么就会大大缩减解的数量。下面来介绍一些常见的解法。一、整除法：未知数系数和常数存在公因数例1：已知3x+7y=36，x、y分别为正整数，求y=?A、1 B、2 C、3 D、4【中公解析】答案：C。观察3x和36都能被3整除。由整数的特性可知7y一定也能被3整除。因此y一定能被3整除。直接锁定C。二、奇偶特性：系数一奇一偶例题2：办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装29份相同的文件。每个红色文件袋可以装7份文件，每个蓝色文件袋可以装4份文件。要使每个文件袋都恰好装满，需要红色、蓝色文件袋的数量共有多少个?A、2 B、3 C、4 D、5【中公解析】答案：D。设红色文件袋为x个，设蓝色文件袋为y个，则可得到方程7x+4y=29。已知偶数乘任一数都是偶数可知4y一定是偶数。由奇+偶=奇可知7x一定为奇数。因此x一定为奇数。将x=1,3,5....依次带入可知x=3，y=2。x+y=5。选择D。三、尾数法：利用末尾0或5的数字位数特性例3：超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?A、3 B、4 C、7 D、13【中公解析】答案：D。设大包装盒的个数为x，小包装盒为y，可得到12x+5y=99，由题意可知x+y>10。由整数的性质可知5y尾数只能是0、5，和为99。则对应的12x的尾数只能是9、4，2相乘尾数不可能是9，所以12x尾数只能是4。可知x尾数一定是2或者7。又因为和为99，x小于10。所以x只能为2或者7。x=2时，y=15，x+y=17，满足题意。15-2=13;当x=7，y=3，x+y=10，不满足题意，选择D。对于不定方程的题目，运用整除、奇偶特性以及尾数法可以快速求解。只需要大家记住每种方法的应用情形就行。

整除法【例题1】： 某国家对居民收入实行下列税率方案：每人每月不超过3000美元的部分按照1%税率征收，超过3000美元不超过6000美元的部分按照X%税率征收，超过6000美元的部分按Y%税率征收(X,Y为整数)。假设该国居民月收入为6500美元，支付了120美元所得税，则Y为多少? 【参考答案】：A.【解析】：整除法。列方程可得，3000×1%+3000×X%+500×Y%=120,化简可得6X+Y=18,观察发现，18以及X的系数6都是6的倍数，根据整除可以确定Y一定是6的倍数，所以结合选项答案选择A选项。【小结】：当列出的方程中未知数的系数以及结果是同一个数的倍数的时候，可以考虑用整除法结合选项选择答案。奇偶法【例题2】： 装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装11个，小盒每盒能装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个? 【参考答案】：A.【解析】：奇偶法。设需要大、小盒子分别为x、y个，则有11x+8y=89,由此式89为奇数，8y一定为偶数，所以11x一定为奇数，所以x一定为奇数，结合选项，排除B和D,剩余两个代入排除，可以选择A选项。【小结】：列出的方程未知数系数和结果奇偶性可确定时，可以考虑用奇偶性结合选项破解题目。尾数法【例题3】： 有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是：辆 辆 辆 辆【参考答案】：B.【解析】：尾数法。大客车需要x辆，小客车需要y辆，可列37x+20y=271,20y的尾数一定是0,则37x的尾数等于271的尾数1,结合选项x只能是3,所以选择B选项。【小结】：列出方程的未知数的系数出现5或10的倍数时，尾数可以确定，可以考虑用尾数法结合选项来选择答案。