初等数论自考真题及答案详解

第二题 楼上的，你给分吧， 3^4=81, 那么 3^2008=(3^4)^502= *…*1 , 3^2009 =3^2008 x 3 = *…*3 上上楼的自己都搅混了， 3^20= *…*01, 那么3^2009= *……*01 x 3^9 3^9 = 19683 所以 3^2009= *…*83 应该是83 其实正确的做法是构造10， 3^2009 = 3^2^1004 x 3 = 9^1004 x 3 =(10-1)^1004 x 3 注意1004是偶数，最后一项为-1的偶数次方，那么倒数第二项系数为-1004 展开为 （10^1004 - 1004x10^1003 + …… -1004x10 + 1） x 3 前面的都是“整百数字”， 只看最后两个 M x 100-10040+1 = N x100 - 40 + 1 = (N-1)x 100 +61 61 x 3 = 183 所以到最后，3^2009末尾两位应为 83 第6题 3|2009 3|669 3|221 3|73 3|24 3|8 2 3的指数为669+221+73+24+8+2=997 第五题 40 520 = 11x45+25, 所以 520^50(mod45)= (11*45+25)^50 (mod45) = 25^50(mod45) = 625^25(mod45) 625 = 14*45-5 所以上式= [（14*45-5）^5]^5 (mod45) = (N-625)^5 (mod45) -625 = -14*45+5,即-625=5(mod45)所以上式= 5^5(mod45)=625(mod45)= -5(mod45)= 40 (mod45) 第一题 3120K+1739 K=0，1，2，…… 首先确定,这种数字是每个公倍数段上一“轮回”，第一个数的范围 为 0 至 13*15*16 =3120，最后的结果要加上公倍数3120的K倍。 13分别与0~9乘再加10， 末位为 0，3，6，9，2，5，8，1，4，7； （因为只要末尾所以实际用3来乘再加0） 15分别乘，再加14，末位为 4，9，……（实际用5乘再加4） 16分别乘，再加11，末位为 7，3，9，5，1,……（实际用6乘再加1） 比较以上两组数字，得到该数最后一位为 9， 与13相乘再加10能得到9的，必须有乘数末位为3 现在分别用3，13，23，33，43……233去试算（为什么是233，因为15*16=240，过了这个界限就循环了，在这个范围内找不到的话，就没解了） 看起来挺麻烦的，但是还好只有24个试算值，而且应该不会到最后一个才找到^_^， 结果1739 = 13*133+10 = 15*115+14 = 16*108+11第三题 当a=b=0时,c=0

记d=(a,b)d|a 且 d|b所以对任意整数 x, y，有：d | (ax+by)也就是对任意整数 x, y，都存在整数 k，使得：kd = ax+by所以，除非 k=0 （此时 ax+by=0），否则 k=1 或 -1 就是所有 ax+by 中绝对值最小的那个。将其推广到 n：d = (a1, a2, ..., an)则对于任意整数 x1, x2, ..., xn，有：d | (a1x1+a2x2+...+anxn)所以，d 是所有 a1x1+a2x2+...+anxn 中绝对值最小且不等于0的那个。

第二题答案是01 错了我给分给你

第二题：432009/4=502……1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 177147 531441 1594323 4782969 14348907 43046721 129140163104603532034383236303每5个回圈，第一个不算，502-1=501，501/5=100……1，所以是第一个43