2019年自考线性代数答案解析

实对称矩阵可正交对角化, 正交对角化即与对角矩阵相似由于对角矩阵主对角线上元素都是特征值所以特征值相同的实对称矩阵相似与同一个对角矩阵而相似关系都是等价关系(有传递性)所以实对称矩阵相似的充要条件是特征值相同 对实对称矩阵矩阵而言相似则特征值相同则正交相似于同一对角矩阵正交相似即是相似又是合同所以相似必合同 特征值的重数即特征多项式的重根有时说A的特征值为 1,4,4, 即4是2重特征值

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【分析】逆矩阵定义：若n阶矩阵A，B满足AB=BA=E，则称A可逆，A的逆矩阵为B。【解答】A³-A²+3A=0， A²(E-A)+3(E-A)=3E，(A²+3)(E-A) = 3EE-A满足可逆定义，它的逆矩阵为(A²+3)/3【评注】定理：若A为n阶矩阵，有AB=E，那么一定有BA=E。所以当我们有AB=E时，就可以直接利用逆矩阵定义。而不需要再判定BA=E。对于这种抽象型矩阵，可以考虑用定义来求解。如果是具体型矩阵，就可以用初等变换来求解。线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。

《线性代数》是河南省数学教学指导委员会推荐用书，根据一般工科本科类线性代数课程教学大纲的基本要求，结合作者多年实际教学经验编写而成。内容包括：行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值与对角化、二次型、Matlab实验每章后配备A、B两层次习题

秩就是4

A=

1 0 0 0

1 2 0 -1

3 -1 0 4

1 4 5 1 第2行减去第1行，第3行减去第1行×3，第4行减去第1行

～

1 0 0 0

0 2 0 -1

0 -1 0 4

0 4 5 1 第2行加上第3行×2，第4行加上第3行×4，第3行乘以-1，交换第2和第3行

～

1 0 0 0

0 1 0 -4

0 0 0 7

0 0 5 17 第3行除以7，交换第3和第4行

～

1 0 0 0

0 1 0 -4

0 0 5 17

0 0 0 1

很显然矩阵是满秩的，秩就是4

在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。

在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

1、A没说特征向量线性无关B没说矩阵是实对阵矩阵C满足实对阵矩阵，所以正确D没道理。都没说是什么矩阵2、重数就是比如4阶方阵的特征值为0,0,1,2则其特征值0的重数是23、（1）实对称矩阵特征向量必然线性无关，特征值相同时矩阵相似是充要条件（2）要搞清楚概念，合同矩阵不一定特征值相同。