自学考试高等数学试卷及答案解析

《线性代数》总复习题一、判断题1. 仅当 时等式 才成立，则向量组 线性无关. ( )2. 若 线性相关，则 , 也线性相关.( )3. 一个向量组如果含有零向量，则这个向量组一定线性相关. ( )4. 如果矩阵 存在一个不为零的 阶子式则矩阵的秩为 . ( )5. 为向量组T 的一部分向量，如果 线性无关，则 为向量组T 的最大无关组. ( )6. 由 维向量 生成的子空间或者是 维的或者是 维的.( )7. 任意齐次线性方程组或者无解，或者有唯一解，或者有无穷多解.( )8. 初等矩阵可理解为单位矩阵经过一次初等变换而得到. ( )9. 矩阵经过初等变换后得到的新矩阵实际上与原矩阵相等. ( )10. 矩阵经过初等变换其行列式的值不变. ( )11. 矩阵经过初等变换其秩不变. ( )12．线性方程组 的解空间维数仅与 , 有关. ( )13.线性方程组 的解全体构成一个 维子空间. ( )14．方阵 为实对称矩阵当且仅当 的特征值为实数. ( )15．方阵 的对应于特征值 的特征向量 必定是齐次线性方程组 的解. ( )16．矩阵的秩就是其列（或行）向量组中线性无关向量的个数. ( )17.如果向量空间 的任一向量均可由 线性表示，则称 为 的一个基. ( )18. 若在矩阵 中有一个 阶子式不为 ，则A中至少有一个 阶子式不为 . ( )19. 上三角方阵的值就是主对角线上元素的乘积. ( )20. 若 线性相关，则 可由 线性表示. ( )二 、选择题 1. 设 为 阶矩阵，且 ,而 ，则 ） ） 或 C) ） 2.设 为 阶矩阵且 可逆，则有 ） ） ） ） 3.设 ，其中 都是方阵，且 ，则有 ） 可逆但 不一定可逆 ） 可逆但 不一定可逆 ） 与 的可逆性不定 ） 与 均可逆4.设 为 阶方阵，则 的充分必要条件是 ）两行（列）元素对应成比例 ）必有一行为其余行的线性组合 ） 中有一行元素全为0 ）任一行为其余行的线性组合5.A为 矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是A的 （A） 列向量组线性无关 （B）列向量组线性相关（C）行向量组线性无关 （D）行向量组线性相关6.设线性方程组Ax=b有m个方程，n个未知量，则正确的是 （A） 若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解（B） 若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解（C） 若Ax=b有无穷多解，则Ax=0仅有零解（D） 若Ax=b有无穷多解，则Ax=0有非零解7.线性方程组Ax=b有m个方程，n个未知量，且r(A)=r, 则此方程组 （A）r=m时，有解 （B）r=n时，有唯一解（C）m=n时，有唯一解 （D）r

《高等数学》试卷1（下）

一.选择题（3分10）

1.点到点 的距离 （    ）.

A.3       B.4       C.5       D.6

2.向量 ，则有（    ）.

A.∥    B.⊥     C.      D.

3.函数 的定义域是（    ）.

A.     B.

C.     D

4.两个向量 与 垂直的充要条件是（    ）.

A.   B.    C.   D.

5.函数 的极小值是（    ）.

A.2       B.     C.1       D.

6.设 ，则 ＝（    ）.

A.     B.     C.      D.

7.若 级数 收敛，则（    ）.

A.    B.     C.      D.

8.幂级数 的收敛域为（    ）.

A.    B     C.      D.

9.幂级数 在收敛域内的和函数是（    ）.

A.     B.     C.      D.

10.微分方程 的通解为（    ）.

A.   B.    C.   D.

二.填空题（4分5）

1.一平面过点 且垂直于直线 ，其中点 ，则此平面方程为______________________.

2.函数 的全微分是______________________________.

3.设 ，则_____________________________.

4.的麦克劳林级数是___________________________.

5.微分方程 的通解为_________________________________.

三.计算题（5分6）

1.设 ，而 ，求

2.已知隐函数 由方程 确定，求

3.计算 ，其中.

4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（ 为半径）.

5.求微分方程 在 条件下的特解.

四.应用题（10分2）

1.要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？

2..曲线 上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点 ，求此曲线方程

.

试卷1参考答案

一.选择题 CBCAD  ACCBD

二.填空题

1..

2. .

3. .

4.  .

5. .

三.计算题

1. ，.

2..

3..

4. .

5..

四.应用题

1.长、宽、高均为 时，用料最省.

2.

《高数》试卷2（下）

一.选择题（3分10）

1.点 ， 的距离 （    ）.

A.      B.      C.      D.

2.设两平面方程分别为 和 ，则两平面的夹角为（    ）.

A.         B.        C.        D.

3.函数 的定义域为（    ）.

A.           B.

C.        D.

4.点 到平面 的距离为（    ）.

A.3           B.4         C.5          D.6

5.函数 的极大值为（    ）.

A.0           B.1        C.         D.

6.设 ，则 （    ）.

A.6           B.7        C.8           D.9

7.若几何级数 是收敛的，则（     ）.

A.       B.     C.      D.

8.幂级数 的收敛域为（    ）.

A.     B.     C.      D.

9.级数 是（    ）.

A.条件收敛     B.绝对收敛     C.发散       D.不能确定

10.微分方程 的通解为（    ）.

A.   B.   C.   D.

二.填空题（4分5）

1.直线 过点 且与直线 平行，则直线 的方程为__________________________.

2.函数 的全微分为___________________________.

3.曲面 在点 处的切平面方程为_____________________________________.

4.的麦克劳林级数是______________________.

5.微分方程 在 条件下的特解为______________________________.

三.计算题（5分6）

1.设 ，求

2.设 ，而 ，求

3.已知隐函数 由 确定，求

4.如图，求球面 与圆柱面 （ ）所围的几何体的体积.

5.求微分方程 的通解.

四.应用题（10分2）

1.试用二重积分计算由 和 所围图形的面积.

2.如图，以初速度 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律 （提示：.当 时，有 ， ）

试卷2参考答案

一.选择题 CBABA  CCDBA.

二.填空题

1..

2..

3..

4..

5..

三.计算题

1..

2. .

3..

4. .

5..

四.应用题

1..

2. .

《高等数学》试卷3（下）

一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）

1、二阶行列式 2   -3  的值为（    ）

4  5

A、10    B、20    C、24    D、22

2、设a=i+2j-k,b=2j+3k，则a与b 的向量积为（    ）

A、i-j+2k    B、8i-j+2k    C、8i-3j+2k    D、8i-3i+k

3、点P（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（    ）

A、2   B、3    C、4    D、5

4、函数z=xsiny在点（1， ）处的两个偏导数分别为（    ）

A、     B、    C、      D、

5、设x2+y2+z2=2Rx，则 分别为（    ）

A、    B、    C、    D、

6、设圆心在原点，半径为R，面密度为 的薄板的质量为（    ）（面积A=）

A、R2A    B、2R2A    C、3R2A    D、

7、级数 的收敛半径为（    ）

A、2   B、    C、1   D、3

8、cosx的麦克劳林级数为（    ）

A、 B、  C、  D、

9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（    ）

A、一阶    B、二阶    C、三阶    D、四阶

10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（    ）

A、-2，-1    B、2，1    C、-2，1    D、1，-2

二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）

1、直线L1：x=y=z与直线L2：___________。

直线L3：____________。

2、（0.98）2.03的近似值为________,sin100的近似值为___________。

3、二重积分___________。

4、幂级数__________，__________。

5、微分方程y`=xy的一般解为___________，微分方程xy`+y=y2的解为___________。

三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分）

1、用行列式解方程组  -3x+2y-8z=17

2x-5y+3z=3

x+7y-5z=2

2、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.

3、计算.

4、问级数

5、将函数f(x)=e3x展成麦克劳林级数

6、用特征根法求y``+3y`+2y=0的一般解

四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分）

1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。

2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，（已知比例系数为k）已知t=0时，铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M（t）随时间t变化的规律。

参考答案

一、选择题

1、D   2、C    3、C    4、A   5、B    6、D    7、C   8、A    9、B

10,A

二、填空题

1、        2、0.96，0.17365

3、л                          4、0，+

5、

三、计算题

1、         -3 2  -8

解：  △=  2  -5 3  = （-3）×  -5  3  -2× 2  3 +（-8）2 -5  =-138

1  7  -5              7 -5       1  -5

17  2  -8

△x=   3  -5 3  =17×  -5 3  -2×3  3  +（-8）×  3  -5=-138

2  7  -5        7  -5       2 -5             2   7

同理：

-3 17  -8

△y=   2   3  3  =276  ,  △z= 414

1          2  -5

所以，方程组的解为

2、解：因为x=t,y=t2,z=t3,

所以xt=1,yt=2t,zt=3t2，

所以xt|t=1=1, yt|t=1=2, zt|t=1=3

故切线方程为：

法平面方程为：（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0

即x+2y+3z=6

3、解：因为D由直线y=1,x=2,y=x围成，

所以

D：         1≤y≤2

y≤x≤2

故：

4、解：这是交错级数，因为

5、解：因为

用2x代x，得：

6、解：特征方程为r2+4r+4=0

所以，（r+2）2=0

得重根r1=r2=-2，其对应的两个线性无关解为y1=e-2x,y2=xe-2x

所以，方程的一般解为y=(c1+c2x)e-2x

四、应用题

1、解：设长方体的三棱长分别为x，y，z

则2（xy+yz+zx）=a2

构造辅助函数

F（x,y,z）=xyz+

求其对x,y,z的偏导，并使之为0，得：

yz+2(y+z)=0

xz+2(x+z)=0

xy+2(x+y)=0

与2(xy+yz+zx)-a2=0联立，由于x,y,z均不等于零

可得x=y=z

代入2(xy+yz+zx)-a2=0得x=y=z=

所以，表面积为a2而体积最大的长方体的体积为

2、解：据题意

《高数》试卷4（下）

一．选择题：

1．下列平面中过点（1,1,1）的平面是．

（A）x＋y＋z＝0（B）x＋y＋z＝1（C）x＝1（D）x＝3

2．在空间直角坐标系中，方程 表示．

（A）圆（B）圆域（C）球面（D）圆柱面

3．二元函数 的驻点是．

（A）（0,0） （B）（0,1） （C）（1,0）（D）（1,1）

4．二重积分的积分区域D是 ，则 ．

（A） （B） （C） （D）

5．交换积分次序后 ．

（A） （B） （C） （D）

6．n阶行列式中所有元素都是1，其值是．

（A）n（B）0（C）n！（D）1

7．对于n元线性方程组，当 时,它有无穷多组解,则         ．

（A）r＝n（B）r＜n（C）r＞n（D）无法确定

8．下列级数收敛的是．

（A） （B） （C） （D）

9．正项级数 和 满足关系式 ，则．

（A）若 收敛，则 收敛（B）若 收敛，则 收敛

（C）若 发散，则 发散（D）若 收敛，则 发散

10．已知： ，则 的幂级数展开式为．

（A） （B） （C） （D）

二．填空题：

1．             数 的定义域为        ．

2．若 ，则 ．

3．已知 是 的驻点，若 则

当时， 一定是极小点．

4．矩阵A为三阶方阵，则行列式

5．级数 收敛的必要条件是              ．

三．计算题(一)：

1．             已知： ，求： ， ．

2．             计算二重积分 ，其中 ．

3．已知：XB＝A，其中A＝ ，B＝ ，求未知矩阵X．

4．求幂级数 的收敛区间．

5．求 的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）．

四．计算题(二)：

1．求平面x－2y＋z＝2和2x＋y－z＝4的交线的标准方程．

2．             设方程组 ，试问： 分别为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多组解．

参考答案

一．1．C；2．D；3．D；4．D；5．A；6．B；7．B；8．C；9．B；10．D．

二．1． 2． 3． 4．275．

四．             1．解：

2．解：

3．解：.

4．解： 当|x|〈1时，级数收敛，当x=1时，得 收敛，

当 时，得 发散，所以收敛区间为.

5．解：.因为   ,所以  .

四．1．解：.求直线的方向向量:,求点:令z=0,得y=0,x=2,即交点为(2,0.0),所以交线的标准方程为:.

2．解：

(1)   当 时,,无解;

(2)   当 时, ,有唯一解:;

(3)   当 时, ,有无穷多组解: (为任意常数)

《高数》试卷5（下）

一、选择题（3分/题）

1、已知 ， ，则 （    ）

A 0        B          C         D

2、空间直角坐标系中 表示（    ）

A  圆       B  圆面        C   圆柱面      D  球面

3、二元函数 在（0，0）点处的极限是（  ）

A 1        B  0       C         D  不存在

4、交换积分次序后=（  ）

A            B

C          D

5、二重积分的积分区域D是 ，则 （    ）

A 2        B  1       C   0      D 4

6、n阶行列式中所有元素都是1，其值为（   ）

A 0        B  1       C   n    D  n!

7、若有矩阵 ， ，，下列可运算的式子是（  ）

A          B          C        D

8、n元线性方程组，当 时有无穷多组解，则（   ）

A r=n        B  rn      D  无法确定

9、在一秩为r的矩阵中，任r阶子式（ ）

A 必等于零                     B  必不等于零

C 可以等于零，也可以不等于零  D  不会都不等于零

10、正项级数 和 满足关系式 ，则（   ）

A 若 收敛，则 收敛     B  若 收敛，则 收敛

C  若 发散，则 发散    D  若 收敛，则 发散

二、填空题（4分/题）

1、  空间点p（-1，2，-3）到 平面的距离为

2、  函数 在点       处取得极小值，极小值为

3、  为三阶方阵， ，则

4、  三阶行列式=

5、  级数 收敛的必要条件是

三、计算题（6分/题）

1、  已知二元函数 ，求偏导数 ，

2、  求两平面： 与 交线的标准式方程。

3、  计算二重积分 ，其中 由直线 ， 和双曲线 所围成的区域。

4、  求方阵 的逆矩阵。

5、  求幂级数 的收敛半径和收敛区间。

四、应用题（10分/题）

1、  判断级数 的收敛性，如果收敛，请指出绝对收敛还是条件收敛。

2、  试根据 的取值，讨论方程组 是否有解，指出解的情况。

参考答案

一、选择题（3分/题）

DCBDA    ACBCB

二、填空题（4分/题）

1、3        2、（3，-1） -11      3、-3     4、0     5、

三、计算题（6分/题）

1、 ，

2、

3、

4、

5、收敛半径R=3，收敛区间为（-4，6）

四、应用题（10分/题）

1、  当 时，发散；

时条件收敛；

时绝对收敛

2、  当 且 时， ， ，方程组有唯一解；

当 时， ，方程组无解；

当 时， ，方程组有无穷多组解。

只含x、z而缺y的方程G(x，z)=0表示母线平行于y轴的柱面，如Z=x²